SS241109B. tii（tii）

SS241109B. tii（tii）

题意

给你一个 \(01\) 序列，长度为 \(n \le 5\times 10^5\)。给你一个小数 \(p\)，要你找出一个区间满足区间 \(1\) 的个数比区间长度和 \(p\) 最接近，输出区间的左端点，如果有多个区间输出左端点最小的那个。

思路

设 \(s\) 是原序列的前缀和数组，翻译一下题面就是求 \(|p-\frac{s_r-s_l}{r-l}|\) 最小，输出 \(l+1\)。

算一下式子：

\[|p-\frac{s_r-s_l}{r-l}|=|\frac{(pr-s_r)-(p_l-s_l)}{r-l}| \]

这相当于两点斜率绝对值最小，\((i,pi-s_i)\)。

观察发现，\(s_i\) 每次可能增加 \(1\) 或者不变，\(pi\) 每次增加 \(p<1\)，因此可以画出函数 \(pi-s_i\) 的图像。

要使两点间斜率最小，发现一定是选择 \(y\) 坐标相邻的两点。感性理解？

然后就对点排个序，再 \(O(n)\) 扫一遍更新答案即可。

时间复杂度是 \(O(n\log n)\)，瓶颈在于排序。

code

代码很好写啊。

注意精度问题，因此判断相等和小于需要根据 eps 判断，尤其注意小于的细节：

bool less (ld a,ld b) { return b-a>eps; }

#include<bits/stdc++.h>
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
using namespace std;
typedef long long ll;
namespace Vivid {
    constexpr int N=5e5+7,base=1e6;
    typedef long double ld;
    constexpr ld inf=1e9,eps=1e-10;
    int t,n;
    ld p;
    int b[N];
    char a[N]; 
    ld c[N];
    int rk[N];
    bool cmp (int a,int b) { return c[a]!=c[b]  ? c[a]<c[b] : a<b; }
    int ans;
    ld mn;
    ld abs(ld x) { return x>=0 ? x : -x; }
    bool equal (ld a,ld b) { return abs(a-b)<=eps; }
    bool less (ld a,ld b) { return b-a>eps; }
    void main() {
        sf("%d",&t);
        while(t--) {
            mn=inf;
            ans=0;
            sf("%d%Lf%s",&n,&p,a+1);
            rk[0]=0;
            rep(i,1,n) b[i]=b[i-1]+a[i]-'0', c[i]=p*i-b[i], rk[i]=i;
            sort(rk,rk+n+1,cmp);
            rep(i,1,n) {
                ld x=abs((c[rk[i]]-c[rk[i-1]])/(rk[i]-rk[i-1]));
                if(less(x,mn)) ans=min(rk[i-1],rk[i]), mn=x;
                else if(equal(x,mn)) ans=min(ans,min(rk[i-1],rk[i]));
            }
            pf("%d\n",ans+1);
        }
    }
}
int main() {
    #ifdef LOCAL
    freopen("my.out","w",stdout);
    #else 
    freopen("tii.in","r",stdin);
    freopen("tii.out","w",stdout);
    #endif
    Vivid :: main();
}