SS241007D. 航行（sail）

SS241007D. 航行（sail）

题意

在区间 \([1,n]\) 上，每个位置有参数 \(p_i\)，每个时刻，你在 \(i\) 航道，有 \(p_i\) 的概率速度 \(-1\)，有 \(1-p_i\) 的概率速度 \(+1\)，然后你会来到 \(i+v\) 的位置。

如果你走到了 \(1\) 左边或者 \(n\) 右边，行驶结束。

问对于每个位置 \(i \in [1,n]\)，\(0\) 时刻你在 \(i\) 位置，速度为 \(0\)，问期望多久时间结束。无法结束输出 \(-1\)。

思路

显然的期望 DP。

设 \(f_{i,v}\) 表示在第 \(i\) 个航道，速度为 \(v\)，期望结束用时。转移有 \(1-p_i\) 的概率到 \(f_{i+v+1,v+1}\)，\(p_i\) 的概率到 \(f_{i+v-1,v-1}\)。

状态是 \(O(n^2)\)，高斯消元，总时间复杂度是 \(O(n^6)\)。

可以搜索判一下是否存在无法结束的情况，或者高斯消元直接判无解（？）。

发现速度 \(v\) 只会取到 \(\sqrt{n}\)。因为如果 \(v > \sqrt{n}\)，算个等差数列，\(\frac{(1+\sqrt{n})\sqrt{n}}{2}\)，直接就出界了。所以 \(v\) 是 \(O(\sqrt{n})\) 级别的。直接取 \(2\sqrt{n}\)。时间复杂度变成 \(O(n^{4.5})\)。

发现我们只需要求所有的 \(f_{i,0}\)，考虑 DP 预处理一下这些转移，尝试得到只和 \(f_{i,0}\) 有关的转移式子。

发现之前那个转移式子转移的时候 \(v\) 是连续的。也就是说 \(f_{i,0}\) 开始，第一次转移到一个 \(v=0\) 的地方过程中符号是相同的，所以对于 \(j>i\)，转移途中所有 $v \neq 0 $ 的 \(k\) 是单调无环的，也就是说我们可以 \(O(n^{1.5})\) 求出 \(f_{i,0} \gets [j>i] f_{j,0}\) 的转移式子。同理可求 \(j<i\)。因此这里预处理复杂度是 \(O(n^{2.5})\)。

然后得到所有 \(f_{i,0}\) 的方程，高斯消元即可。时间复杂度 \(O(n^3)\)。

code

不会期望概率题，如何才能深刻理解期望？

对于一些细节的理解：

DP 的时候要记概率和期望，要理解概率是转移到状态 \((i,v)\) 的概率，理解期望，期望可以理解为 \(\frac{总代价}{方案数}\)，这里没有具体的方案数，只有概率，因此期望就是 \(\sum 代价 \times 概率\)。其中假设无法到达 \(x\) 的方案，到达 \(x\) 的代价为 \(0\)。

概率的转移是简单的，状态 \(i\) 转移到状态 \(j\)，有 \(f_j \gets f_j+f_i p_i\)。

期望的转移需要深刻理解。根据 \(\sum 代价 \times 概率\)，得 \(E_j \gets E_j+(E_i+1 \times f_i)p_i\)。

仍然不是很能理解。

还需要记录 \(f_{i,0}\) 在到达下一个 \(v=0\) 的状态之前已经出界的情况。概率和期望相加。

如何构造高斯消元的矩阵？（下文的 \(p_j\) 表示上文的 \(f_j\)。）

根据有向图随机游走这种期望 DP 的模型，我们有 \(f_i \gets \sum_j p_j f_j + E_{i\to j}+（出界的代价 \times 概率=出界的期望）\)。

因为我们这里的 \(E\) 的概率算的就是 \(i\to j\) 的概率，因此 \(E\) 不需要乘上 \(p_j\)。

然后移个项就可以高斯消元了。

我太菜了，要参考蔡队的代码才能写。

英语白痴拼音命名法 yyds

#include<bits/stdc++.h>
// #define LOCAL
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr int N=505,mod=998244353,T=50;
int n;
int p[N];
int inv;
ll add(ll a,ll b) { return a+b>=mod?a+b-mod:a+b; }
void _add(ll &a ,ll b) { a=add(a,b); }
ll ksm(ll a,ll b=mod-2) {
	ll s=1;
	while(b) {
		if(b&1) s=s*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int t;
ll gl[N][T],qw[N][T],togl[N][N],toqw[N][N];
typedef pair<int,int> pii;
#define fi first
#define se second
vector<pii > to[N][T];
bool vi[N];
#define inrange(x) (x>=1&&x<=n)
ll gs[N][N];
void dp0(int s) {
	memset(gl,0,sizeof(gl)); memset(qw,0,sizeof(qw));
	gl[s+1][1]=qw[s+1][1]=add(1,mod-p[s]);
	rep(i,s+1,n) {
		rep(v,1,t) {
			_add(gl[min(i+v+1,n+1)][v+1],gl[i][v]*add(1,mod-p[i])%mod);
			_add(qw[min(i+v+1,n+1)][v+1],add(gl[i][v],qw[i][v])*add(1,mod-p[i])%mod);
			_add(gl[min(i+v-1,n+1)][v-1],gl[i][v]*p[i]%mod);
			_add(qw[min(i+v-1,n+1)][v-1],add(gl[i][v],qw[i][v])*p[i]%mod);
		}
	}
	rep(i,s,n) togl[s][i]=gl[i][0],toqw[s][i]=qw[i][0];
	rep(v,0,t) _add(togl[s][0],gl[n+1][v]),_add(toqw[s][0],qw[n+1][v]);
}
void dp1(int s) {
	memset(gl,0,sizeof(gl)); memset(qw,0,sizeof(qw));
	gl[s-1][1]=qw[s-1][1]=p[s];
	per(i,s-1,1) {
		rep(v,1,t) {
			_add(gl[max(0,i-v-1)][v+1],gl[i][v]*p[i]%mod);
			_add(qw[max(0,i-v-1)][v+1],add(gl[i][v],qw[i][v])*p[i]%mod);
			_add(gl[max(0,i-v+1)][v-1],gl[i][v]*add(1,mod-p[i])%mod);
			_add(qw[max(0,i-v+1)][v-1],add(gl[i][v],qw[i][v])*add(1,mod-p[i])%mod);
		}
	}
	per(i,s,1) togl[s][i]=gl[i][0],toqw[s][i]=qw[i][0];
	rep(v,0,t) _add(togl[s][0],gl[0][v]),_add(toqw[s][0],qw[0][v]);
}
void dfs(int u) {
	if(vi[u]) return;
	vi[u]=1;
	rep(i,1,n) if(togl[i][u]) dfs(i);
}
ll m[N][N];
ll ans[N];
void gaosi () {
	rep(i,1,n) {
		int r=i;
		for(;r<=n&&!m[r][i];r++) ;
		if(!m[r][i]) continue;
		if(r!=i) swap(m[r],m[i]);
		ll div=ksm(m[i][i]);
		rep(j,i,n+1) m[i][j]=m[i][j]*div%mod;
		rep(j,i+1,n) if(m[j][i]) {
			div=m[j][i];
			rep(k,i,n+1) _add(m[j][k],mod-m[i][k]*div%mod);
		} 
	}
	ans[n]=m[n][n+1];
	per(i,n-1,1) {
		ans[i]=m[i][n+1];
		rep(j,i+1,n) _add(ans[i],mod-m[i][j]*ans[j]%mod);
	}
}
int main() {
	#ifdef LOCAL
	freopen("my.out","w",stdout);
	#else
	freopen("sail.in","r",stdin);
	freopen("sail.out","w",stdout);
	#endif
	inv=ksm(100);
	sf("%d",&n);
	t=ceil(sqrt(2*n));
	rep(i,1,n) sf("%d",&p[i]), p[i]=1ll*p[i]*inv%mod;
	rep(i,1,n) dp0(i),dp1(i);
	dfs(0);
	rep(i,1,n) {
		if(!vi[i]) continue;
		m[i][n+1]=toqw[i][0];
		m[i][i]=1;
		rep(j,1,n) if(i!=j&&vi[j]) _add(m[i][j],mod-togl[i][j]),_add(m[i][n+1],toqw[i][j]);
	}
	gaosi();
	rep(i,1,n) {
		if(!vi[i]) pf("-1 ");
		else pf("%lld ",ans[i]);
	}
}