[ABC274G] Security Camera 3

[ABC274G] Security Camera 3

给你一个 \(n\times m\) 的网格图，\(n,m\le 300\)，每个空地上可以放任意多个任意方向的监控，一个监控视野覆盖对应方向最长连续空地，问监控覆盖所有空地最小化监控数量。

对于一个极长的连续空地，我们一定是在边边放置一个监控，而且两边是一样的，因此我们只需要考虑放置向右和向上的监控就行了。不需要考虑四个方向。

预处理出所有极长连续空地，一个连续空地我们只会放一个监控。问题变成最小化极长连续空地数量，使得覆盖所有空地。

显然一个方向的极长连续空地是互不相交的。因此对于每个空地，我们把它对应的横向极长连续空地和纵向极长连续空地连一条边，问题就是求二分图最小点覆盖（选择最少的点覆盖所有边）。显然这是一个二分图，选择一个点就是选择一个极长连续空地建一个监控。每个点必须被横向或者纵向的极长连续空地覆盖，所以就是最小点覆盖问题。

二分图最小点覆盖问题可以转化为网络流最大流问题。源点向所有横向的点连一条流量为 \(1\) 的边，所有纵向的点向汇点连一条流量为 \(1\) 的边，一个点属于编号为 \(x\) 的横向区间，同时属于编号为 \(y\) 的纵向区间，那么就连一条 \(x\to y\) 的流量为 \(1\) 的边。

其实中间连的那些边的流量不一定要设为 \(1\) 设为 \(inf\) 也可以。因为一个空地只会和两个极大块有关，所以最多只会有 \(1\) 的流量经过这条边。

做完啦！现在分析下时间复杂度。\(n,m\) 同阶，时间复杂度是 \(O(n^3)\) 的。

网络流点的数量是 \(O(n^2)\) 的，边的数量也是 \(O(n^2)\) 的。

时间复杂度证明参考 oiwiki。

因此网络流的复杂度是 \(O(n^2\sqrt{n^2})=O(n^3)\)。

code

#include<bits/stdc++.h>
// #define LOCAL
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=305,inf=0x3f3f3f3f,M=N*N;
int n,m;
char c[N][N];
int id[2][N][N],s;
struct edge{
    int to,ne,f;
}e[M<<4];
int head[M<<4],cnt=1,cur[M<<4];
void addedge(int u,int v,int val){
    e[++cnt]={v,head[u],val};head[u]=cnt;
}
void adde(int u,int v,int val){
    addedge(u,v,val),addedge(v,u,0);
}
int S,T;
int dep[M<<4];
bool bfs(){
    queue<int> q;
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    // memcpy(cur,head,sizeof(head));
    q.push(S);
    dep[S]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        cur[u]=head[u];
        // pf("u %d\n",u);
        for(int i=head[u];i;i=e[i].ne){
            int v=e[i].to,w=e[i].f;
            // pf("v %d\n",v);
            if(dep[v]!=0||w<=0) continue;
            dep[v]=dep[u]+1;
            q.push(v);
        }
    }
    // pf("%d\n",(int)dep[T]!=0);
    return dep[T]!=0;
}
int dfs(int u,int res){
    int flow=0;
    if(u==T||!res) return res;
    for(int &i=cur[u];i;i=e[i].ne){
        int v=e[i].to,w=e[i].f;
        if(dep[v]!=dep[u]+1||!w) continue;
        int fl=min(res,w);
        int x=dfs(v,fl);
        if(x==0) dep[v]=-1;
        res-=x,flow+=x;
        e[i].f-=x,e[i^1].f+=x;
    }
    return flow;
}
int dinic(){
    int flow=0;
    while(bfs()) flow+=dfs(S,inf);
    return flow;
}
int main(){
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("my.out","w",stdout);
    #endif 
    sf("%d%d",&n,&m);
    rep(i,1,n){
        sf("%s",c[i]+1);
    }
    S=1,T=2;s=2;
    rep(i,1,n) {
        rep(j,1,m) {
            if(c[i][j]=='.'){
                if(id[0][i][j-1]) id[0][i][j]=id[0][i][j-1];
                else s++,id[0][i][j]=s,adde(S,s,1);
            }
        }
    }
    rep(j,1,m) {
        rep(i,1,n) {
            if(c[i][j]=='.'){
                if(id[1][i-1][j]) id[1][i][j]=id[1][i-1][j];
                else s++,id[1][i][j]=s,adde(s,T,1);
            }
        }
    }
    rep(i,1,n){
        rep(j,1,m){
            if(c[i][j]=='.') adde(id[0][i][j],id[1][i][j],1);
        }
    }
    pf("%d\n",dinic());
}