列序号括（bracket）

列序号括（bracket）

题面在比赛下发文件里。给你一个括号序列，你可以删除 \(i,j\) 当 \(i<j\) 且 \(s_i=\)(，\(s_j=\))。问可以形成的字典序最小的括号序列是什么。

首先我们要有一点贪心地考虑什么时候我们才会删除一对括号。如果我们要删除的一对括号中间有东西没有被删除，若中间有 )，则这个操作是不优的；若中间全部都是 (，则这个操作可以看做是删除了最右边的那个 ( 和 )。

因此，删除一对括号满足它们中间是空的。所以我们可以一对一对删，每次比较删前和删后的字典序。但是显然这样时间很大，一共会删除 \(O(n)\) 对括号，每次枚举 \(O(n)\)，比较 \(O(n)\)，一共 \(O(n^3)\)。比较如果用二分哈希优化一下，可以做到 \(o(n^2\log n)\)，这里不展开。

我们每次要枚举删除哪对括号，主要是可能有这种情况 ((()()))，你要删完中间再删左边（位置取左括号位置），我们要把 \(O(n^2)\) 优化成 \(o(n)\)，就必须钦定一个删除括号的顺序。因为是字典序，所以我们考虑从后往前删，因为后面的删除会影响前面是否删除。容易发现删除的一定是一个连续的合法的括号序列。设 \(f_i\) 表示考虑到 \(i\) （从后往前）的最小括号序列。转移分 \(i\) 删或者不删转移。如果 \(s_i=\)) 显然它左边目前没有可以和它配对的，它只能不删，否则如果不删，\(f_i\gets s_i+f_{i+1}\)，如果它要删掉，则以它开头的最短合法括号序列一定会被删掉，记这个最短合法括号序列的右端点为 \(ne_i\)，有 \(f_i\gets f_{ne_i+1}\)。

预处理每个位置开头最短合法括号序列，可以从左往右扫，( 当做 \(+1\)，) 当做 \(-1\)，维护一个永远不小于 \(0\) 的前缀和 \(A\)，因为 ) 多了是配不了对的，直接清零。然后 \(ne_i\) 就是第一个满足 \(a_j=a_i-1\) 的位置。

DP 状态数是 \(O(n)\) 的了，但是比较两个字符串字典序大小是 \(O(n)\) 的。这里不好哈希，因为你不能每个后缀的答案都维护哈希前缀值，空间就爆了，更新哈希值时间也爆。考虑倍增。每个后缀的答案维护 \(\log\) 个哈希值，转移是 \(O(\log)\) 的。除了哈希的倍增数组，还要维护答案的 \(\log\) 个位置的倍增数组，毕竟无论是更新哈希还是比较字典序，你都要知道跳 \(2^k\) 步之后会到达哪里，这个也是好维护的。

总时间复杂度 \(n\log n\)。

my AC code.写得十分 shit 请见谅