线性基

线性基

概述

之前的记载

用于求某个序列异或和相关问题（最大、第 \(k\) 大、最小也行（不过一般不考））。

参考博客

另一个写得比较高级的博客

我们把一个长度为 \(n\) 的序列看做一个 \(n\) 维向量，线性基就是若干个这样的向量组成的线性空间的一组基，也是一组极大的线性无关向量。

通常我们动态地维护线性基来解决一些问题。

异或线性基

给你 \(n\) 个数，可以选择任意多个数异或起来，得到的数集称为一个线性空间，求线性空间的异或线性基。

我们把每个数的二进制形式看做一个 $\log $ 维的向量。线性基就是维护若干个行向量，要求行向量排成一个只有右上三角有值的正方形。

也可以简化成行简化阶梯形矩阵。

比如这样是一个行简化阶梯形矩阵线性基：

一开始线性基为空，我们依次加入每个数，每次加入数字 \(x\) 时，从上往下枚举每个向量，如果 \(x\) 的最高位已经在线性基里面有了，就对 \(x\) 做异或操作，消掉最高位。否则就加入 \(x\)。

这样构造是 \(n^2 \log n\) 的。

构造代码：

其中 \(p_i\) 是最高位位 \(i\) 的基向量。

void insert(ll x) {
    per(i,bit,0) {
        if(!(x&(1ll<<i))) continue;
        if(!p[i]) return p[i]=x, void(0);
        x^=p[i];
    }
}

求序列异或和最大值

先求出线性基（行简化阶梯形矩阵）。

然后从上往下枚举每个向量，贪心地选择。如果选择这个向量结构更优就选择，否则不选。容易发现是正确的。

模板题：P3812 【模板】线性基

求线性基对应线性空间的最大值代码：

ll maxxor() {
    ll res=0;
    per(i,bit,0) res=max(res,res^p[i]);
    return res;
}

其他应用

1. 第 \(i\) 个向量的权值是 \(w_i\)，找权值和最大的极大线性无关向量组。

   拟阵贪心，按照权值将向量从大往小排序，然后按顺序依次插入线性基即可。

2. 线性基合并。

   启发式合并两个线性基，把小的一个一个合并到大的里面去。线性基合并就是求线性空间的并集。

3. 求序列异或和最小值（选定集合非空）。

   就是线性基最小的那个，即最后一行向量。

4. 询问元素 \(x\) 是否能被某个集合的异或和表示（元素 \(x\) 是否在线性空间内）。

   向线性基插入 \(x\)，不能插入则说明已经在线性空间内。

5. 求第 \(k\) 大异或和。

   维护一个行简化阶梯形矩阵。即删去空行。

   另外，每次插入元素 \(x\) 的时候，找到插入的位置之后，继续枚举低位，用低位的基消去 \(x\) 的低位。

   线性空间的大小就是 \(2\) 关于线性基大小的幂。

   把 \(k\) 化成二进制形式，二进制形式为 \(1\) 的那位向量就选择。