计算几何基础

计算几何基础

点积和差积

以 \(a\) 的方向为正方向，\(a,b\) 的点积的正负可以判定向量前后（即左右）关系，差积的正负可以判定向量的上下关系。

可以参加下图，左图是点积，右图是差积。

点积

点积有叫做向量积，向量 \(a,b\) 的点积是：

\[x_ax_b + y_ay_b \]

高中数学选修一定义的向量积是 \(|a||b| \cos \theta\)，其中 \(\theta\) 是 \(a,b\) 的夹角。几何意义是 \(b\) 的模长乘向量 \(a\) 投影到 \(b\) 的模长。

不难发现点积满足交换律。

差积

\(a,b\) 的差积定义为：

\[x_ay_b - x_by_a \]

其几何含义为以 \(a,b\) 为邻边的平行四边形的面积（注意当 \(b\) 在 \(a\) 下方时差积为负数）

容易发现差积满足 \(a \cdot b = - b \cdot a\)。

判定点和多边形的关系

简介

射线法。时间复杂度 \(O(n)\)。

参考【计算几何】判断一个点是否在多边形内部。

如图，对要判定的点向某个方向（以正右方为例）引一条射线，数射线与多边形交点个数 \(n\)，若 \(n\) 是奇数，则点在多边形内，否则点在多边形外。

枚举多边形的每一条边，判定是否存在交点。

正确性证明略。

特殊情况

1. 点在多边形上

这种情况就在枚举每一条边的时候判定点是否在边上（包括两端）就可以了。

2. 射线经过多边形顶点

这种情况应该算几个交点呢？

参考博客里讲得很清楚。

我们把多边形的 \(y\) 左边变成上开下闭的形式。即每个点 \((x,y)\) 变成点 \((x,y-eps)\)。酱紫就不会有射线交到多边形节点上面的情况了，而且可以发现是正确的。

判定点与凸多边形的关系

极点法。

可以 \(O(\log n)\) 求解，\(n\) 为凸包点数。

参考 UVA - 13024 Saint John Festival 凸包+二分

对凸包上的点按照其斜率排序，然后二分找出需要判定的点在哪两个向量之间，然后使用差积判定点是否在三角形内部。

如图，点 \(H,K\) 均在向量 \(AF,AE\) 之间，于是我们计算 \(FH,HE\) 的差积，得到负数，说明 \(H\) 在三角形内部，计算 \(FK,KE\) 的差积，得到正数，说明 \(K\) 在三角形外部。如果点在三角形边 \(FE\) 上，差积将会是 \(0\)。

code

注意凸包的极点（\(s_1\)）必须平移至 \((0,0)\)。

bool query(point *s,point x) {//若 x 在凸包 s 内，返回 1，否则返回 0
	if(x*s[2]>0 || c[cnt]*x>0 || (x*c[2]==0 && calc(x,{0,0})>calc(c[2],{0,0})) || (c[cnt]*x==0 && calc(x,{0,0})>calc(c[cnt],{0,0}))) return 0;//x 不在任何一个三角形范围内
	int k=lower_bound(c+2,c+cnt+1,x,cmp2)-c-1;//找出逆时针方向 x 的前一个向量。
	return (x-c[k])*(c[k+1]-x)<=0;//根据差积判定
}

凸包

在一个平面直角坐标系中，有 \(n\) 个点，以其中一些点为顶点覆盖了所有点且所有内角都小于 \(180^{\circ}\) 的多边形即为这 \(n\) 个点的凸包。

形象点说，就像在平面上的 \(n\) 根柱子外围套一根皮筋，皮筋就是凸包。

求凸包

Graham扫描法

给定 \(n\) 个点，\(O(n)\) 求凸包。

参考：知乎——算法学习笔记(65): 凸包

知乎专栏写得很好，这里简单概述。

容易发现，平面上最左、最上的点一定是在凸包上的，我们把这个点称为极点。我们进行极角排序，即以极点为原点，所有点按照其斜率从小到大排序，将排序后的点依次相连就可以得到一个包含所有点的多边形，但是不一定是凸多边形。

然后我们按照排序的顺序遍历所有点，构成凸包的边是逆时针方向旋转的，可以使用叉乘判断，如果不符合逆时针，就把上一个点 pop 出。

这样就可以求出凸包了。

code

struct point {
	int x,y;
	point operator - () const { return {-x,-y}; }
	point operator + (const point b) const { return {x+b.x, y+b.y}; }
	point operator - (const point b) const { return *this + (-b); }
	ll operator * (const point b) const { return 1ll*x*b.y - 1ll*y*b.x; }
};
ll chengfang(ll x) { return x*x; }
ll calc(point a,point b) { return chengfang(a.x-b.x)+chengfang(a.y-b.y); }
bool cmp (point a,point b) {
	ll x=(a-tmp)*(b-tmp);//差积
	if(x==0) return calc(a,tmp) < calc(b,tmp);
	return x>0;
}
int st[N<<1];
void get_tubao(point *p, int &n) {
	int rt=1;
	rep(i,2,n) if(p[i].y<p[rt].y || (p[i].y==p[rt].y&&p[i].x<p[rt].x)) rt=i;//找极点
	swap(p[1],p[rt]); tmp=p[1];
	sort(p+2,p+n+1,cmp);//极点排序
	int top=0;
	st[++top]=1, st[++top]=2;
	rep(i,3,n) {//使用栈求凸包
		while(top>1 && (p[i]-p[st[top]])*(p[st[top]]-p[st[top-1]])>=0) --top;
		st[++top]=i;
	}
	n=top;
	rep(i,1,n) p[i]=p[st[i]];
}

凸壳

不封闭的凸包。

性质

以上图的下凸壳为例：

1. 所有点都在凸壳里面（毕竟凸壳是凸包的一部分）；
2. 凸壳上相邻两点连成的直线斜率随 \(x\) （或 \(y\)）的增大单调递增或递减（上图为单调递增）。

维护凸壳

单调队列维护（继续以下凸壳为例）

要求：

新加入的点必须 \(x\) 单调递增。

步骤：

设 \(K(a,b)\) 表示经过点 \(a,b\) 的直线的斜率，即 \(|y_a-y_b|\div |x_a-x_b|\)。设 \(q_j\) 表示凸壳中第 \(j\) 个点的编号。

需要加入点 \((x_i,y_i)\)，当前凸壳共有 \(k\) 个点；

若 \(K(q_{k-1},q_k)>=K(q_k,i)\),把 \(q_k\) 从凸壳中踢出；

重复直到 \(K(q_{k-1},q_k)<K(q_k,i)\)，将点 \(i\) 加入凸壳；

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define sf scanf
#define pf printf
#define il inline
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+7;
int n;
int x[N],y[N];
int q[N],k;
long double K(int a,int b) { return 1.0*abs(y[a]-y[b])/abs(x[a]-x[b]); }
int main(){
	sf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sf("%d%d",&x[i],&y[i]);
		if(k>1)
		while(K(q[k-1],q[k])>=K(q[k],i)&&k>1) k--;
		q[++k]=i;
	}
}