组合数学

卡特兰数

卡特兰数对应的序列为 \(1,1,2,5,14,42,132\cdots\)

递归定义：\(C_0=C_1=1,C_n=\sum_{i=0}^{n-1} C_i C_{n-i-1}(n\ge 2)\)

通项公式：\(C_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}\)

应用：

括号序列：\(n\) 个 (，\(n\) 个 )，形成长度为 \(2n\) 的合法括号序列，方案数为 \(\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}\)。

证明如下：设 \(f_i\) 表示长度为 \(2i\) 的合法括号序列个数，序列第 \(1\) 位一定是 (，因为序列合法，与第一个 ( 匹配的 ) 一定在位置 \(2j\)，因为它们之间一定有偶数个括号，枚举与第一个 ( 相匹配的 )，把序列分成括号对内和括号对右边两部分，答案加上这两部分方案数的乘积。得到转移方程 \(f_i=\sum_{j=0}^{i-1}f_jf_{i-j-1}\)，符合卡特兰数的递归定义，证毕。