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给定含 $n$ 点 $m$ 边的 DAG 与常数 $k$，定义 $f(l,r)$ 求满足条件的区间数。先处理弱化问题判断不相交路径，预处理矩阵。原问题借枚举终点集合求矩阵秩确定路径数，用时间戳线性基支持操作。利用单调性分段，时间复杂度 $O(nnk^2 + mk)$，瓶颈是线性基插入与矩阵预处理 。 阅读全文
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本题研究 $k$ 个在数轴上位置为 $x_1,x_2,\dots,x_k$ 的机器人，在接下来 $n$ 秒内，每秒各有 $\frac{1}{2}$ 概率不动、$\frac{1}{2}$ 概率向正方向移动一个单位距离且同时移动时，互相不碰撞的概率（结果对 $998244353$ 取模，$k \le 10,n,x \le 1000$）。解题思路是先求不碰撞方案数再除以 $2^{nk}$，通过加时间维将问题转化为分层图路径问题，利用 LGV 引理结合容斥原理计算方案数。因枚举终点序列 $\{y_i\}$ 不可行，考虑状压 DP，设 $f_{i,s}$ 表示处理到坐标 $i$ 且已确定部分起点终点状态为 $s$ 的合法方案数，通过枚举是否有起点选择位置 $i$ 作为终点进行转移，最终答案为 $f_{x,2^k - 1}$。 阅读全文
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对于给定的分层 DAG，在起点和终点数量相同且要求路径无公共点的情况下，求偶数交点方案数与奇数交点方案数之差。具体思路为：对于相邻两层，规定每层节点数均为 $n$，此时“交点数”等同于排列的逆序对数，通过构建邻接矩阵并利用 LGV 引理求出所有 $n×n$ 子方阵的行列式并相加；对于多层情况，在第一层和最后一层之间添加一层，分别构造表示第一层与中间层、最后一层与中间层连边关系的邻接矩阵 $A$ 和 $B$，依据比内柯西公式可知 $|AB|$ 符合题目要求，又因为矩阵乘法满足结合律，所以所有邻接矩阵连乘得到的行列式即为答案，该方法时间复杂度为 $O(n^4)$。 阅读全文
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给定长度 \(n \leq 2×10^5\) 的排列 \(A\)，要拆成子序列 \(B\)、\(C\)，使 \(B\) 前缀最大值与 \(C\) 前缀最小值个数和最大。用 DP 求解，初态 \(f_{i,x,y}\) 暴力转移复杂度 \(n^3\)。优化时按 \(x > y\) 和 \(x < y\) 分类讨论，前者求 LIS 和 LDS，后者利用前驱后继转移，部分情况用 set、树状数组等处理，先预处理再倒序枚举更新 。 阅读全文
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给定\(n\)个点、\(k\)个连通块（含点信息\(s_i\)），添加\(k - 1\)条边使其连通，依连通块度数\(d_i\)计算加边方案贡献。利用 prufer 序列结合凯莱公式分析，因式子难优化且\(k\leq7000\)，采用\(O(k^2)\)动态规划求解，定义\(f_{i,j}\)表示处理到第\(i\)段以\(j\)结尾的方案贡献和，经特定转移计算最终答案。 阅读全文
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本题通过将原数列转化为差分数组 $\{c_i\}$ ，并推导得出 $\sum_{k = 1}^n \frac{k(k + 1)}{2} c_k = M$。构建生成函数 $[x^M] F(x)=\prod_{k = 1}^{\min(n,\sqrt{M})} \frac{1}{1 - x^{\frac{k(k + 1)}{2}}}$，利用递推式子 $f_{n,i}=f_{n - 1,i}+f_{n,i - t}$ 以$O(M\sqrt{M})$ 时间复杂度求解。对于凸壳斜率正负都存在的情况，枚举凸壳最低点 $p$ 将数列分左右部计算，通过类似递推处理 $p$ 移动情况并避免重复计算，同时考虑原凸壳二阶导数非负，枚举上移量并将相关项系数加入答案。 阅读全文
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vegetable just more practise. 阅读全文