2024牛客多校第九场 C.Change Matrix 欧拉反演

这题是欧拉反演的应用，之前没学过欧拉函数和欧拉反演，傻傻对着 $gcd(i,j)$ 不知道怎么化简。

首先对原来的矩阵进行转化，拆成 $n$ 个小矩阵

因为$gcd(i,j)= \sum_{x|i,x|j} \phi(x)$

这是因为对于任意的正整数 $n$ 都有 $n=\sum_{d|n} \phi(d)$，证明见oiwiki：https://oi-wiki.org/math/number-theory/euler-totient/

那把 $n$ 替换成 $gcd(i,j)$ 就得到上面的式子。但这个式子只是对于 $i,j$ 固定为某个值的情况，考虑枚举 $i$ 从 $1$ 到 $n$ ，$j$ 同理。得到：

$\sum_{i=1}^{i=n}\sum_{j=1}^{j=n}gcd(i,j)=\sum_{i=1}^{i=n}\sum_{j=1}^{j=n}\sum_{c|i,c|j}\phi(c)$

反演有一个常见套路就是把最后枚举的这个 $c$ 提到前面来（这跟在莫比乌斯反演里经常把 $d$ 提到前面来是一样的），所以调换求和顺序把式子改写成:

$\sum_{c=1}^{c=n}\phi(c)\sum_{i=1}^{i=n}\sum_{j=1}^{j=n}[c|i ][c|j]$

(其中 $[c|i]$ 的意思是若 $c$ 整除 $i$ ，则该表达式的值为 $1$ ，否则为 $0$ )

观察到 $i \in [1,n]$ 时，满足 $[c|i]$ 的 $i$ 共有 $\lfloor n/c \rfloor$ 个，$j$ 同理，所以还可以写成：

$\sum_{c=1}^{c=n}\phi(c)*\lfloor n/c \rfloor*\lfloor n/c \rfloor$

这个式子的含义是，对于每个 $c$ ,它都对应了一个长和宽都为 $\lfloor n/c \rfloor$ 的矩阵，且矩阵内每个元素的初始值都为 $\phi(c)$ 。第 $c$ 个矩阵的行列 $(i,j)$ 在原矩阵中对应的位置是 $(i*c,j*c)$ 。
比如当前第 $c$ 个矩阵长这样(只描述下标，每个位置对应的权值都是 $\phi(c)$ )：

$$\left[ \begin{matrix} 1,1 & 1,2 & 1,3 &...&1,\lfloor n/c \rfloor\\ 2,1 & 2,2 & 2,3 &...&2,\lfloor n/c \rfloor\\ &...&\\ \lfloor n/c \rfloor,1 & \lfloor n/c \rfloor,2 & \lfloor n/c \rfloor,3 &...& \lfloor n/c \rfloor,\lfloor n/c \rfloor \end{matrix} \right]$$

则在原矩阵中它们对应的位置为：

$$\left[ \begin{matrix} c,c & c,2c & c,3c &... & c,\lfloor n/c \rfloor*c\\ 2c,c & 2c,2c & 2c,3c &...&2c,\lfloor n/c \rfloor*c\\ ... \\ \lfloor n/c \rfloor*c,c & \lfloor n/c \rfloor*c,2c & \lfloor n/c \rfloor*c,3c &... & \lfloor n/c \rfloor*c,\lfloor n/c \rfloor*c \end{matrix} \right]$$

显然一共有 $n$ 个矩阵 ( $c \in [1,n]$ )，所有矩阵的元素和加起来就等于我们要求的值。转化的意义在于把原本的大矩阵拆成了若干个小矩阵，每个小矩阵的 $\phi()$ 都相等，原本矩阵里某个位置（i,j）的值就等于它出现过的小矩阵在该位置累加的和，有点像分层。

再放个雨巨的图方便大家理解：

$c=1$ 时

$c=2$ 时

$c=3$时

$c=4$时

接下来考虑每次操作对这些矩阵的影响

行和列是等价的，故只考虑行。

回到之前的这个式子：

$\sum_{i=1}^{i=n}\sum_{j=1}^{j=n}[c|i ][c|j]$ ，当改动第 $x$ 行时，影响的是 $i=x$ 和所有满足 $c|x$ 的 $c$ (暂且先不考虑后面的 $j$ )。所以对于 $x$ 的每个因数 $c$ , 第 $c$ 个矩阵都会受影响。

具体是什么影响？观察图可知，在原来的大矩阵里改一行时，对应的小矩阵也是改一整行。只不过对于第 $c$ 个矩阵来说，$x$ 在这个矩阵里对应的是第 $x/c$ 行，所以改的是第 $x/c$ 行（这里有点难解释，多悟一悟）。

那我们可以用数组 $r[c][i]$ 表示第 $c$ 个矩阵第 $i$ 行的系数，进行 $R \ x \ y$ 操作时就是:
r[c][x/c]*=y

答案 $ans=\sum_{c=1}^{c=n}\phi(c) *(\ \sum r(i,j)\ )*(\ \sum c(i,j)\ )$ ，每次修改时减去原来的贡献，进行修改，再加上新的贡献，具体细节见代码。

$code:$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 100005;
int phi[maxn];
int prime[maxn], cnt;
bool vist[maxn + 1];
void Euler(int n){
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i ++){
		if (!vist[i]) prime[++ cnt] = i, phi[i] = i - 1;
		for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j ++){
			vist[i * prime[j]] = true;
			if (i % prime[j] != 0) phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
			else {
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
		}
	}
}
int n,q;
int sumR[maxn],sumC[maxn];
vector<int>r[maxn],c[maxn];// 第i个矩阵的第j行系数和第i个矩阵的第j列系数
void solve(){
	cin>>n>>q;
	for(int i=0;i<=n;i++) r[i].clear(),c[i].clear();
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		r[i].push_back(0);
		c[i].push_back(0);
		sumR[i]=sumC[i]=0;
		for(int j=1;j<=n/i;j++)
			r[i].push_back(1),c[i].push_back(1),// 最开始系数都为1
			sumR[i]++,sumC[i]++;//sumR[i]表示第i个矩阵的行系数和
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=phi[i]*(n/i)%mod*(n/i)%mod;//初始的答案
		ans%=mod;
	}

	while(q--){
		char op;cin>>op;
		if(op=='R'){
			int x,y;cin>>x>>y;
			y%=mod;
			for(int i=1;i*i<=x;i++){
				// 处理第i个矩阵
				if(x%i) continue;
				// 减去原来的贡献
				ans-=((phi[i]*r[i][x/i]%mod)*sumC[i])%mod;
				ans=(ans+mod)%mod;
				sumR[i]-=r[i][x/i];
				sumR[i]=(sumR[i]+mod)%mod;
				// 修改r[][]和sumR[]
				r[i][x/i]=r[i][x/i]*y%mod;
				sumR[i]+=r[i][x/i];
				sumR[i]%=mod;
				ans+=((phi[i]*r[i][x/i]%mod)*sumC[i])%mod;
				ans%=mod;
				
				// 处理x/i
				if(i*i!=x){
					int j=x/i;
					ans-=((phi[j]*r[j][x/j]%mod)*sumC[j])%mod;
					ans=(ans+mod)%mod;
					sumR[j]-=r[j][x/j];
					sumR[j]=(sumR[j]+mod)%mod;
					// update
					r[j][x/j]=r[j][x/j]*y%mod;
					sumR[j]+=r[j][x/j];
					sumR[j]%=mod;
					ans+=((phi[j]*r[j][x/j]%mod)*sumC[j])%mod;
					ans%=mod;
				}
			}
		}
		else {
			// 列同理
			int x,y;cin>>x>>y;
			y%=mod;
			for(int i=1;i*i<=x;i++){
				// 处理第i个矩阵
				if(x%i) continue;
				// change
				ans-=((phi[i]*c[i][x/i]%mod)*sumR[i])%mod;
				ans=(ans+mod)%mod;
				sumC[i]-=c[i][x/i];
				sumC[i]=(sumC[i]+mod)%mod;
				// update
				c[i][x/i]=c[i][x/i]*y%mod;
				sumC[i]+=c[i][x/i];
				sumC[i]%=mod;
				ans+=((phi[i]*c[i][x/i]%mod)*sumR[i])%mod;
				ans%=mod;
				
				if(i*i!=x){
					int j=x/i;
					ans-=((phi[j]*c[j][x/j]%mod)*sumR[j])%mod;
					ans=(ans+mod)%mod;
					sumC[j]-=c[j][x/j];
					sumC[j]=(sumC[j]+mod)%mod;
					// update
					c[j][x/j]=c[j][x/j]*y%mod;
					sumC[j]+=c[j][x/j];
					sumC[j]%=mod;
					ans+=((phi[j]*c[j][x/j]%mod)*sumR[j])%mod;
					ans%=mod;
				}
			}
		}
		cout<<ans<<"\n";
	}
}
signed main(){
	freopen("1.in","r",stdin);
	freopen("mycode.out","w",stdout);
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	Euler(100000);
	int t=1;
	//cin>>t;
	while(t--){
		solve();
	}
}