1689D Lena and Matrix （曼哈顿距离转切比雪夫距离/随机化/线段树)

记一道有趣的题:P

题意

这道题很有意思。
给定地图上若干个黑色的点，求这样一个点的坐标，满足其到图中任何一个黑色点的最大曼哈顿距离最小。
$max(|a-x_i|+|b-y_i|),i=1,2..k$

方法一

曼哈顿距离和且比雪夫距离可以互相转化，曼哈顿转切比雪夫如下：
$(x,y) \to (x+y,x-y)$
转化后原坐标的曼哈顿距离等价为转化后的切比雪夫距离。也就是：
$max( max((X-xi),(Y-yi)))$
证明详见：https://oi-wiki.org/geometry/distance/
这样就把两个维度拆开了，只要对于$x+y,x-y$分别求最大/最小值，再枚举矩阵上的点打擂台即可。

方法二

随机化的做法是随机500个格子，找出距离它们最远的黑色格子，把这些黑色格子作为“最远点”。再枚举矩阵上所有点求答案。
原理是500个格子找出的黑色格子，极大概率包含方法一中$x+y,x-y$的最大/最小值。

方法三

考虑列数固定的时候，有用的只有最上面的格子和最下面的格子，格子的数量级压缩到了$O(m)$。
按行枚举矩阵上每一个格子，从$(i,j) \to (i,j+1)$时，$[1,j]$列的格子贡献$+1$,$[j+1,m]$列的格子贡献-1,线段树区间操作即可。这部分的复杂度是$O(nmlogm)$
当一行枚举完，挪到下一行开始枚举时，初始化的复杂度是$O(m)$的，这部分总的复杂度是$O(nm)$，可以接受