2019-2020 ICPC, Asia Jakarta Regional Contest E - Songwriter 差分约束(随机化优化|栈优化)
最短路三角形不等式:Xi<=Xj+w（根据最短路的定义，要是不满足的话就不是最短路了）
给出若干个形如Xi-Xj<=w的约束条件，考虑求一组合法的解。
把问题转化成求最短路，对于Xi-Xj<=w，我们从j向i连一条边权为w的边
如果有负环的话即无解。
...?
但差分约束难搞一点的话还要求最大解、最小解，以及其他更多的满足条件。
1.先看看求最大解。
可能有点反直觉，但是：通过最短路径算出来的未知数都能到最大值
粗略证明:假设M1，M2，M3..是一组合法的最大解，根据Bellman-Ford的过程，一开始的路径都初始化为无穷大，然后检查所有三角形不等式，不满足最短路三角形不等式则更新。最后求出来的dis数组就是到每个点的最短路长度。
那我们初始化为无穷大时，求出来的是D1,D2,D3...初始化为M1,M2,M3时，求出来的就是M1，M2，M3..(刚才已经假设这组M是合法的解，不再更新)。那么D1,D2,D3..==M1,M2,M3..因为同一个算法，同一个过程，总不能因为初始值设置大了，答案反而小了吧？
所以求最大解时跑最短路，且不等式的形式都要形如Xi-Xj<=w，然后从j向i连边权为w的边。
一些常见的最短路变形：
Xi>Xj , Xi>=Xj+1, Xj-Xi<=-1
Xi-Xj>=k, Xj-Xi<=-k
Xi==Xj，拆成Xi>=Xj,Xj>=Xi
Xi-Xj==k,拆成Xi-Xj>=k,Xi-Xj<=k,再对第一个进行变形得Xj-Xi<=-k
更新时的注意事项：
初始化为无穷大，用最短路三角形不等式更新:
if(dis[v]>dis[u]+e[i].w) dis[v]=dis[u]+e[i].w;
2.同理的，求解最小值时等价为跑最长路
最长路满足的三角形不等式：Xi-Xj>=w
不等式都要变形成形如Xi-Xj>=w的形式，从j向i连边权为w的边
初始化为无穷小，注意更新时符号也要变化
if(dis[v]<dis[u]+w) dis[v]=dis[u]+w;
3.玄学的优化
你应该知道，关于spfa，它死了的这件事..
今天一道构造题写了差分约束，t25，赛后学长说换成双端队列随机取队头队首，或者把queue改成stack可能会有奇效
测了一下随机化是过了，栈没过。不是很明白原理，可能是根据卡spfa的数据出的?
4.此题的代码:
//stack ， T25 #include<bits/stdc++.h> #define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0) using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=1e5+5; int tot,n,m,l,r,k; int a[maxn]; struct lys{ int from,to,nex; ll val; }e[int(1e6)]; int head[int(1e6)]; void add(int from,int to,ll val){ tot++;e[tot].from=from;e[tot].to=to; e[tot].val=val;e[tot].nex=head[from];head[from]=tot; } int cnt[maxn]; bool vis[maxn]; ll dis[maxn]; stack<int>s; bool spfa(void) { for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=LONG_LONG_MIN; dis[0]=0; vis[0]=true; s.push(0); while(!s.empty()) { int u; u=s.top();s.pop(); vis[u]=false; for(int i=head[u];i;i=e[i].nex) { int v=e[i].to;ll w=e[i].val; if(dis[v]<dis[u]+w) { dis[v]=dis[u]+w; if(!vis[v]) { vis[v]=true; cnt[v]++; if(cnt[v]>=n+1) return false; s.push(v); } } } } return true; } int main() { fastio; cin>>n>>l>>r>>k; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; for(int i=1;i<n;i++){ if(a[i]==a[i+1]){ add(i,i+1,0); add(i+1,i,0); } else if(a[i+1]>a[i]){ // i+1 <= i + k add(i+1,i,-k); // i+1 >= i + 1 -> i <= i+1 -1 add(i,i+1,1); } else { add(i+1,i,1); add(i,i+1,-k); } } for(int i=1;i<=n;i++){ add(0,i,l); } if(!spfa()) { cout<<-1<<endl; return 0; } else { bool valid=true; for(int i=1;i<=n;i++){ if(dis[i]>r) valid=false; } if(!valid){ cout<<-1; } else { for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<" "; } } return 0; }
加了随机优化的双端队列，accepte
#include<bits/stdc++.h> #define fastio ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0) using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=1e5+5; int tot,n,m,l,r,k; int a[maxn]; struct lys{ int from,to,nex; ll val; }e[int(1e6)]; int head[int(1e6)]; void add(int from,int to,ll val){ tot++;e[tot].from=from;e[tot].to=to; e[tot].val=val;e[tot].nex=head[from];head[from]=tot; } int cnt[maxn]; bool vis[maxn]; ll dis[maxn]; bool spfa(void) { for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=LONG_LONG_MIN; dis[0]=0; deque<int> q; q.push_front(0); vis[0]=true; while(!q.empty()) { int u; if(rand()&1)u=q.front(),q.pop_front(); else u=q.back(),q.pop_back(); vis[u]=false; for(int i=head[u];i;i=e[i].nex) { int v=e[i].to;ll w=e[i].val; if(dis[v]<dis[u]+w) { dis[v]=dis[u]+w; if(!vis[v]) { vis[v]=true; cnt[v]++; if(cnt[v]>=n+1) return false; q.push_front(v); } } } } return true; } int main() { fastio; cin>>n>>l>>r>>k; for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; for(int i=1;i<n;i++){ if(a[i]==a[i+1]){ add(i,i+1,0); add(i+1,i,0); } else if(a[i+1]>a[i]){ // i+1 <= i + k add(i+1,i,-k); // i+1 >= i + 1 -> i <= i+1 -1 add(i,i+1,1); } else { add(i+1,i,1); add(i,i+1,-k); } } for(int i=1;i<=n;i++){ add(0,i,l); } if(!spfa()) { cout<<-1<<endl; return 0; } else { bool valid=true; for(int i=1;i<=n;i++){ if(dis[i]>r) valid=false; } if(!valid){ cout<<-1; } else { for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<" "; } } return 0; }
