hdu 1133(卡特兰数变形)
题意:排队买50块一张的票,初始票台没有零钱可找,有m个人持有50元,n人持有100元,每人编号各不相同。问有多少种排队方案?
题解:
当 m<n时,肯定方案数是0.
当m>=n时,将队伍看成一个栈,持有50的人用0表示,持有100的人用1表示。
对于n+m个数我们能有的总方案数有C(n+m,n)种。
不符合的方案数:(以下是百度百科的解释)
考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数,扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1(容易证明一定存在这样的情况),则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0,则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。
反过来,任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数,由于0的个数多2个,2n为偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数,即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应。 显然,不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。
反过来,任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数,由于0的个数多2个,2n为偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数,即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应。 显然,不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。
同理我们可以得到这个题目的不符合方案数为 C(n+m,m+1)
而这题还多了人的编号,所以结果还要乘上n!*m!
import java.math.BigInteger; import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner sc =new Scanner (System.in); int t =1; while(sc.hasNext()){ int m =sc.nextInt(); int n =sc.nextInt(); if(n==0&&m==0) break; System.out.println("Test #"+(t++)+":"); if(n>m) { System.out.println(0); continue; } BigInteger ans = solve(n+m,n).subtract(solve(n+m,m+1)); ans = ans.multiply(pow(n)).multiply(pow(m)); System.out.println(ans); } } private static BigInteger pow(int n) { BigInteger sum = BigInteger.valueOf(1); if(n==0) return sum; for(int i=1;i<=n;i++){ sum = sum.multiply(BigInteger.valueOf(i)); } return sum; } private static BigInteger solve(int a, int b) { BigInteger sum = BigInteger.valueOf(1); if(a<b) return BigInteger.ZERO; if(b==0||a==b) return sum; for(int i=a;i>b;i--){ sum = sum.multiply(BigInteger.valueOf(i)); } for(int i=a-b;i>0;i--){ sum = sum.divide(BigInteger.valueOf(i)); } return sum; } }
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