过拟合解决方案之正则化

1.过拟合问题

对于过拟合问题，通常原因是模型选择太过复杂，也有可能是训练数据太少。对于模型太复杂的情况，我们一般有如下考虑：一是通过分析删除部分特征（比如重复多余的特征或者对输出值贡献不太大的特征），但是这样有可能会损失一部分信息。所以，我们可以通过正则化的方法来降低参数值，从而避免过拟合问题。对于过拟合问题的详细描述，可以查看我的另一篇博客机器学习之欠拟合与过拟合。

2.正则化

回顾一下，在回归问题中，在确定模型之后，要根据该损失函数找出使得损失函数最小的参数矩阵。在整个回归过程中，最为重要的一步是确定回归模型。通常情况下，如果选择的模型太简单，就会欠拟合。如果模型选择太复杂，就会过拟合。正则化可以很好地解决之一问题，通过对某些参数进行“惩罚”，就可以达到降低参数值的目的。正则化的方法有很多，这里仅介绍L1正则化和L2正则化，对应的分别是Lasson回归和Ridge回归。正则化就是在损失函数中加入正则项（用\(\Omega(\theta)\)表示），L1正则对应的正则项为：\(L1 = \lambda\sum_{i=1}^n|\theta_i|\)，L2对应的正则项是：\(L2 = \lambda\sum_{i=1}^n\theta_i^2\)。例如线性回归的正则化损失函数为：

\[J(\theta)={1\over 2m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2 + \Omega(\theta)\tag{2.1} \]

逻辑回归的正则化损失函数为：

\[J(\theta)= \dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^m[-y^{(i)}ln(h_\theta(x^{(i)}))-(1-y^{(i)})ln(1-h_\theta(x^{(i)}))] +\Omega(\theta) \tag{2.2} \]

3.L1正则与L2正则的不同

3.1L1正则

在介绍L1正则之前，我们有必要了解一下L0范数，L0范数表示向量中非零元素的个数，其数学表达式为：

\[||x||_0 = \sum_{j=1}^{|x|} x_j \neq 0?1:0 \tag{3.1.1} \]

如果我们使用L0范数作为正则项（即\(\Omega(\theta)=\lambda||\theta||_0\)），那就说明我们希望权向量\(w\)当中的大部分元素都是零。L0正则更通俗的解释是：如果要增加模型复杂度来加强模型的表达能力，对于增加的每个参数，我们都要进行这样的考量----该参数不为0时对初始损失函数（即不加正则项的损失函数）的降低程度是否达到\(\lambda\)。如果不足\(\lambda\)，我们认为增加这样的复杂度是得不偿失的。通过L0正则，可以使模型稀疏化，并且在一定程度上实现了特征选择（如果某个参数为0，相当于摒弃了该参数对应的样本特征）。但是由于L0正则项不连续、不可导、也不是凸函数，所以最小化L0正则损失函数是一个NP问题，相当复杂。所以我们需要更为有效的方式----L1正则。L1范数是L0范数最优凸近似，比L0范数更容易求得最优解。所以我们可以用L1正则来近似代替L0正则。如果采用L1正则，那么损失函数就变为：

\[J(\theta) =J(\theta)_0 + \dfrac{1}{2m}\lambda\sum_{i=1}^n｜\theta_i｜) \tag{3.1.2} \]

对参数求偏导数的结果就是：

\[\dfrac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_0 } = \dfrac{\partial J(\theta)_0}{\partial \theta_0}，\dfrac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_i } = \dfrac{\partial J(\theta)_0}{\partial \theta_i} + \dfrac{1}{m}\lambda sgn(\theta_i)\quad (i = 1,2,\dots,n) \tag{3.1.3} \]

在梯度下降法中，对应的参数更新方式为：

\[\theta_0 = \theta_0 -\alpha\dfrac{\partial J(\theta)_0}{\partial \theta_0},\theta_i = \theta_i - \alpha\dfrac{\partial J(\theta)_0}{\partial \theta_i} -\dfrac{\alpha}{m} \lambda sgn(\theta_i)) \quad (i = 1,2,\dots,n) \tag{3.1.4} \]

上述各式中，\(J(\theta_0)\)表示初始损失函数（即未添加正则项的损失函数），sgn为符号函数。正则项和\(\theta_0\)无关是因为\(\theta_0\)与任何特征项都无关（即不对应任何\(x_i\)），所以\(\theta_0\)对过拟合的影响并不大，也就不需要在正则项中引入。

3.2L2正则

L0和L1正则都会使参数矩阵变得稀疏（即存在很多为0的元素），对样本特征有所舍弃，虽然对减小方差很有作用，但通常这会使偏差变大。那么有没有什么方法可以使方差变小的同时，偏差又不会变得太大呢？L2正则就可以解决这一问题。L2范数的数学表达式的直观解释是参数的平方的\(\lambda\)倍求和，如果采用L2范数作为正则项，这会让部分参数值非常小，接近于0，但并不是等于0。这就保证了不会舍弃样本特征，只是让特征对应的权重变小。同样可以起到减小方差的作用，并且偏差不会变得太大。如果采用L1正则，那么损失函数就变为：

\[J(\theta) =J(\theta)_0 + \dfrac{1}{2m}\lambda\sum_{i=1}^n\theta_i^2 \tag{3.2.1} \]

对参数求偏导数的结果就是：

\[\dfrac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_0 } = \dfrac{\partial J(\theta)_0}{\partial \theta_0}，\dfrac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_i } = \dfrac{\partial J(\theta)_0}{\partial \theta_i} + \dfrac{1}{m}\lambda \theta_i \quad (i = 1,2,\dots,n) \tag{3.1.2} \]

在梯度下降法中，对应的参数更新方式为：

\[\theta_0 = \theta_0 -\alpha\dfrac{\partial J(\theta)_0}{\partial \theta_0},\theta_i = \theta_i - \dfrac{\partial J(\theta)_0}{\partial \theta_i} -\dfrac{\alpha}{m} 2\lambda \theta_i \quad (i = 1,2,\dots,n) \tag{3.2.3} \]

上述各式中，\(J(\theta_0)\)表示初始损失函数（即未添加正则项的损失函数）。（不要纠结于系数，m和2m都是一样的，只是方便求偏导时约去1/2）。

对于线性回归来说，初始损失函数\(J(\theta)_0 =\dfrac{1}{2m}\sum_\limits{i=0}^m(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))^2\)。

加入正则项后，最小二乘法求解结果为：\(\theta = \left(X^TX+\lambda \left[\begin{matrix} 0 \\ &1 \\ & & 1 \\ & & &\ddots \\ & & & & 1 \end{matrix} \right]\right)^{-1}X^TY\)。

对于逻辑回归来说，初始损失函数\(J(\theta)_0= \dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^m[-yln(h_\theta(x))-(1-y)ln(1-h_\theta(x))]\)。

4.总结

对于过拟合问题，我们可以采用正则化来解决。在机器学习中，我们一般会使用L2正则。在使用正则化的时候，要注意正则化参数\(\lambda\)的选择。如果\(\lambda\)太小，那么正则项几乎就没有起到作用，也就无法解决过拟合问题；如果\(\lambda\)太大，这时除了\(\theta_0\)以外的其他参数\(\theta_i(i = 1,2,\dots,n)\)就会很小，最后得到的模型几乎就是一条水平直线，会出现欠拟合问题。