初赛第一场（4月19）：题目3：活动中心

题目3 : 活动中心

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描述

A市是一个高度规划的城市，但是科技高端发达的地方，居民们也不能忘记运动和锻炼，因此城市规划局在设计A市的时候也要考虑为居民们建造一个活动中心，方便居住在A市的居民们能随时开展运动，锻炼强健的身心。

城市规划局希望活动中心的位置满足以下条件：

1. 到所有居住地的总距离最小。

2. 为了方便活动中心的资源补给和其他器材的维护，活动中心必须建设在A市的主干道上。

 

为了简化问题，我们将A市摆在二维平面上，城市的主干道看作直角坐标系平的X轴，城市中所有的居住地都可以看成二维平面上的一个点。

现在，A市的城市规划局希望知道活动中心建在哪儿最好。

 

输入

第一行包括一个数T，表示数据的组数。

接下来包含T组数据，每组数据的第一行包括一个整数N，表示A市共有N处居住地

接下来N行表示每处居住地的坐标。

 

输出

对于每组数据，输出一行“Case X: Y”，其中X表示每组数据的编号(从1开始)，Y表示活动中心的最优建造位置。我们建议你的输出保留Y到小数点后6位或以上，任何与标准答案的绝对误差或者相对误差在10^-6以内的结果都将被视为正确。

 

数据范围

小数据：1 ≤ T ≤ 1000, 1 ≤ N ≤ 10

大数据：1 ≤ T ≤ 10, 1 ≤ N ≤ 10⁵

对于所有数据，坐标值都是整数且绝对值都不超过10⁶

样例解释

样例1：活动中心的最优建造位置为(1.678787, 0)

样例输入

1
3
1 1
2 2
3 3

样例输出

Case 1: 1.678787 

解析：构建目标函数 f(x)，最小值处导数等于 0，但是直接求解较困难。 又因为二次导数恒大于 0 ，故其导数变化应该是从负数到 0 到正数。（而目标函数则从递减到递增有最小值。）

求导数等于 0 时 x 的值。

二分法：

代码（有待查错：）

#include <iostream>
//#include <>
using namespace std;
struct{
    int x;
    int y;
}points[100001];

double derivative(int v, int N)
{
    double ans = 0;
    for(int i = 0; i < N; ++i)
    {
        double t = v - points[i].x;
        double t2 = sqrt(t * t  + points[i].y * points[i].y); 
        ans += t / t2;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    for(int k = 0; k < T; ++k)
    {
        int a, b;
        double xMin = 1000000, xMax = -1000000;
        int N;
        cin >> N;
        for(int i = 0; i < N; ++i)
        {
            cin >> a >> b;
            points[i].x = a;
            points[i].y = b;
            if(xMin > a) xMin = a;
            if(xMax < a) xMax = a;
        }
        double yl = derivative(xMin, N);
        double yh = derivative(xMax, N);
        double xMid;
        while(fabs(xMax - xMin) >= 1e-6)
        {
            xMid = (xMin + xMax) / 2;
            double tem = derivative(xMid, N);
            if(tem >= 0) 
            {
                    xMax = xMid;
                    yh = tem;
            }
            else
            {
                xMin = xMid;
                yl = tem;
            }
        }
        //cout << "Case " << k+1 << ": " << yh << endl;
        printf("Case %d: %.6f", k+1, xMid);
    }
    return 0;
}