欧几里得算法和扩展欧几里得算法

欧几里得算法（辗转相除法）

求正整数a和正整数b的最大公约数。

int gcd(int a, int b) {
    if(a < b) {
        return gcd(b,a);
    }
    return b== 0 ? a : gcd(b, a%b); 
}

扩展欧几里得算法是欧几里得算法的扩展。除了计算a、b两个整数的，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数）。给与正整数a,b必然有整数x与y使得ax+by=gcd(a,b)。辗转相除法，可得最大公约数。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

由欧几里得算法，可知有（1）

\[\gcd(a,b) = \gcd(b,a\mod b) \tag{1} \]

由裴蜀定理，一定有（2）（3）

\[ax+by=\gcd(a,b) \tag{2} \]

\[ax^*+by^*=\gcd(b,a\mod b) \tag{3} \]

根据x*和y*推出x和y的值。

\[a\mod b = a-\lfloor a/b \rfloor b=a-kb ,\ k为一个非负整数 \tag{4} \]

由（3）（4）

\[ax^*+by^*= \gcd(b,a\mod d) = bx^*+(a \mod b)y^*= bx^*+(a -kb)y^* \tag{5} \]

\[bx^*+(a -kb)y^*=bx^*+ay^*-kby^*=ay^*+b(x^*-ky^*) \tag{6} \]

由（2）（6）可以得到

\[x=y^* \\ y=x^*-ky^*=x^*- \lfloor a/b \rfloor y^* \]

代码java实现:

public static int[] exGcd(int a, int b, int[] gxy) {
    if(b == 0) 
        return new int[] {a,1,0};
    
    gxy = exGcd(b, a%b, gxy);
    int gcd = gxy[0], _x = gxy[1], _y = gxy[2];//收集gcd(b,a%b), x*,y*
    int x = _y, y = _x-(a/b)*_y;//根据x*,y*反推x,y
    return new int[] {gcd, x, y};
}
public static void main(String[] args) {
    int[] gxy = new int[3];//空数组，用于返回 gcd（a,b）, x,y三个值
    gxy = exGcd(16,100,gxy);
    System.out.println(Arrays.toString(gxy));
}