Arch-乘法器实现及简单优化

合集 - 计算机体系结构(5)

1.程序的机器级表示（CSAPP Chapter 3，COD Chapter 2）2023-10-112.性能的测量（COD Section 1.6）2023-10-153.Arch-虚拟内存2023-10-24

4.Arch-乘法器实现及简单优化2023-10-29

5.系统级IO2023-11-03

收起

乘法器实现概述

1. 如何实现乘法

本质上，我们是使用”列竖式“一般的方法，即通过移位和加法来实现乘法。步骤如下：

1. 在每个周期判断乘数的最低位，如果为 1，那么加到 ans 中。此后将乘数右移一位，将被乘数左移一位，进入下一个周期。

2. 重复 16 次。

同时，我们也需要考虑补码的一些性质。以 16 位乘 16 位为例，注意到：

$$y=-y_{15}\times2^{15} +\sum_{i=0}^{14}{y_i\times2^i}$$

且 $[x+y]_c=[x]_c+[y]_c$, $[x <<i]_c=[x]_c<<i$ 。

于是有：

$$[xy]_c=[x]_c\cdot(-y_{15}\times2^{15} +\sum_{i=0}^{14}{y_i\times2^i})$$

即只有最后一位需要进行减法，其余部分都是加法。

2. 一些乘法优化

2.1 Booth 一位乘算法

注意到如下式子：

$$\begin{aligned} & y=-y_{15}\times2^{15} +\sum_{i=0}^{14}{y_i\times2^i}\\ & \ \ =-y_{15}\times2^{15}+y_{14}\times2^{15}-y_{14}\times2^{14}+\cdot\cdot\cdot+y_0\times2^1-y_0\times2^0\\ & \ \ =\sum_{i=0}^{15}{(y_{i-1}-y_i)\times2^i} \end{aligned}$$

其中 $y_{-1}:=0$。根据此公式，我们的式子变得更加规整，也不需要对最后一位特殊操作。同时，也可以优化掉部分情况（例如 $y_i=1$ 且 $y_{i-1}=1$）。

2.2 Booth 两位乘算法

注意到如下式子：

$$\begin{aligned} & y=-2\times y_{15}\times2^{14}+y_{14}\times2^{14}+(2^{14}-2\times2^{12})\times y_{13}+\cdot\cdot\cdot+y_{-1}\times2^0\\ &\ \ = \sum_{i=0}^{7}{2^{2i}}\times(y_{2i}+y_{2i-1}-2y_{2i+1}) \end{aligned}$$

由此我们可以推导出 Booth 两位乘法的运算规则：

这样可以将运算时间减半。另外，也可以实现 3 位以上的 Booth 乘法，但这样的话处理会比较麻烦。

3. 代码实现

module multiplier (
	input signed [15:0] A,
	input signed [15:0] B,
	output reg signed [31:0] mul
);
    reg signed [31:0] ans;
    reg signed [31:0] origin_a;
    reg signed [31:0] minus_a;
    reg signed [31:0] double_a;
    reg signed [31:0] neg_double_a;
    reg [15:-1] extend_b;
    reg signed [4:0] i;

    always @(A, B) begin
        origin_a = {{16{A[15]}}, A[15:0]};
        minus_a = ~origin_a + 1;
        double_a = origin_a << 1;
        neg_double_a = ~double_a + 1;
        extend_b = {B[15:0], 1'b0};

        ans = 0;
        for (i = 14; i >= 0; i = i - 2) begin
            if (extend_b[i + 1] == 1'b0 && extend_b[i] == 1'b0 && extend_b[i - 1] == 1'b0) begin
                // do nothing
            end
            if (extend_b[i + 1] == 1'b0 && extend_b[i] == 1'b0 && extend_b[i - 1] == 1'b1) begin
                ans = ans + A;
            end
            if (extend_b[i + 1] == 1'b0 && extend_b[i] == 1'b1 && extend_b[i - 1] == 1'b0) begin
                ans = ans + A;
            end
            if (extend_b[i + 1] == 1'b0 && extend_b[i] == 1'b1 && extend_b[i - 1] == 1'b1) begin
                ans = ans + double_a;
            end
            if (extend_b[i + 1] == 1'b1 && extend_b[i] == 1'b0 && extend_b[i - 1] == 1'b0) begin
                ans = ans + neg_double_a;
            end
            if (extend_b[i + 1] == 1'b1 && extend_b[i] == 1'b0 && extend_b[i - 1] == 1'b1) begin
                ans = ans + minus_a;
            end
            if (extend_b[i + 1] == 1'b1 && extend_b[i] == 1'b1 && extend_b[i - 1] == 1'b0) begin
                ans = ans + minus_a;
            end
            if (extend_b[i + 1] == 1'b1 && extend_b[i] == 1'b1 && extend_b[i - 1] == 1'b1) begin
                // do nothing
            end
            if (i != 0) ans = ans << 2;
        end
    end



    always @(A, B) begin
        # 20;
        mul = ans;
    end
endmodule

参考

1. 计算机体系结构基础

2. Booth's Algorithms for Multiplication