动态规划 ------最短路径问题

最短路径问题是 动态规划的一个实例。

1.最短路径问题的描述

 

 

2.举个例子来说明：

 

求从 S 到 T 的最短路径。

 

3.思考方式

 

 

4.利用动态规划求解问题

 

 

 依次 考虑从 C 到 T 的最短距离。

考虑从 B 到 C 的最短距离

考虑从 A  到 B 的最短距离

考虑从 T 到 A 的最短距离

每次都是最短距离。

在整个过程中，我们把 我们的目标问题转化成了一个个的子问题，在子问题 求 最小值，最后解决了这个问题。

 

4.子问题的界定

 

 

 

5.最短路程之间的依赖关系

 

 

 

每一次计算的时候都是依据前一个子问题。不需要一个一个计算。每次计算都可以直接利用前一个问题的解。

 

6.子问题的优化原则

 

 

6.利用动态规划求解是需要条件的，一个反例告诉你，动态规划求解的条件

 

 

 分析： 假如从S 到 T 经过的节点依次是 A B C ，从C 到 T ，模10，我们选择 上面的2 . 从 B  到 C，我们的两条路分别是 4 和 7 ，模10，我们选择 上面的 4 ，那么，从B到T的最短距离就是 6； 从 A 到 B ，我们的两条路分别是 6 和 9，模10，我们选择上面的路。

从 S 到 A ，两条路分别是 8 和 11， 此时 ，模10，我们选择下面的 路。这时，路径就如上图中蓝色的路径了。

但是，这是最优的路径吗？显然不是，红色的路线才是最优的路径。因为模10后，得到的结果为0，比 1 小。

为什么是错误的？ 

因为 破坏了动态规划的优化原则，它的问题和它的子问题的优化函数之间没有依赖关系。比如，我们考虑最后一段 即 C 到 T的距离，

显然， 2是最优解，而不是 5 。因此，破坏了优化原则的问题不能使用 动态规划。

 

 7.动态规划 小结

 

 

 可以用于求解组合优化问题。注意 动态规划的 最优化的原则。

 

 8.代码

这个问题的简化版本，编码实现：从矩阵的（0,0）位置到矩阵的（array.length-1,array[0].length-1）的位置的最小值。