动态规划 ------投资问题

课件的内容来自于这位老师的课堂： https://www.youtube.com/watch?v=CalFvXOteNY&list=PLvdLBjhf_tgqq0ESrSd4rH8bXLmOlxN2J&index=3 

以下的内容是我听课的笔记以及自己的理解，有错误或者争议的地方，欢迎 留言~共同学习，共同进步

 

投资问题的描述：  fi(x)表示的是   把 x 元钱投资到第 i 个项目 所获得的收益。课堂上老师说，约束条件必须满足  投资的钱数  等于 总共的钱数，我认为应该是 小于或等于。继续往下面看。

 

举例说明，更容易理解：  在这个表格中， 比如 坐标 （1,0）对应的值为11，这个含义就是说   把 1 万元投资到项目1中，获得的收益是  11万元。

坐标 （3,4）的值为 22， 这个含义就是说 把 3 万元 投资到 项目 4 中，获得的收益是  22万元。

 

子问题的界定：

k代表的含义是 ，你到底考虑到第几个项目

x代表的含义是： 你投资的钱数不超过 x 

所以，这里的 k 和 x 是两个性质不同的参数。

我们之前学的矩阵链相乘， 问题中的 i ,j 是矩阵的下标。是同样类型的参数。

 

再讨论计算顺序， 先定下 所要投资的项目，是前 k 个，从1,2,3......k

当k 的值确定以后，再让 x 变化。比如，当k的值为5时，我们考虑 x 为1,2,3,4，。。。。。m 时，获得的收益。

 

 

优化函数的递推方程： Fk(x)表示的意思是 把 x 元 投资给 前  k 个项目 获得的最大收益。

 x的范围（投资的总的钱数） 是0 到 x

k 的范围是 1 到 n （总共有  n 个项目）

那么 Fk(x) 的值应该是  对 第k个项目投资 了 xk 元 后的收益  +  把剩下的钱（x-xk）投给 前  k-1个项目的总的收益  Fk-1(x-xk)

那么，这个 xk的值 可以从 0 到  x，就是说，可以一分钱也不投资给 第k个项目，也可以把所有钱都投资给 这个项目，所以，这里要遍历 x+1次 才可以获得收益的最大值。

 

下面举例说明，当 k=1 时， 就是说  考虑前面 第一个 项目。只投资第一个项目。

把 0元投资给第一个项目，收益为0元，

把 1 元投资给第一个项目，收益为 11元

把 2 元投资给第一个项目，收益为 12 元，以此类推

 

 

举例说明，当K=2 时， 我们考虑把 钱投资给 前 2 个项目。

K确定以后，我们就要来遍历  x ，x是投资的总的钱数，范围是 从 0 到 5.

当 x= 5时，我们分析情况： 

方案有 :(0,5),(5,0),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)

F2( x=5)=max{  f1(0)+f2(5) ， f1(5)+f2(0) , f1(1)+f2(4) , f1(4)+f2(1) , f1(2)+f2(3) , f1(3)+f2(2) }

max { 0 +20 , 15+0 , 11 +15 , 14 +0 ,12 + 10 , 13+5 } ，所以，此时最大的收益是 26 万元。

 

 

 

备忘录 和解： 

F1（x ）就是我们刚刚提到的， 把 x万元投在到 前  k 个项目中，这里 k=1

那么 ， x 1(x)  是什么意思呢，这是标记函数， 表示的意思是， 你得到当前的最大收益时，你给了最后一个项目多少钱

比如 ，我们刚刚算的 F 2（5） ，我们把5万元投资到前  2 个项目中，  当获得最大收益 26 万元时， 我 们给第二个项目

投资的是4万元。 上面已经说的很清楚了。

 

那我们来举个不同的例子分析一下。

比如我要追踪 我投资 4万元给 这四个项目获得的最大收益，显然是 50万元。 

此时，给第四个项目的投资是1 万元， x 4( 4)=1, 也就是说， x4=1,d第四个项目投资 1万元

x3(3)= 3, 也就是说，我们把剩余的3 万元全部投资给了  第三个项目

剩下的钱为 0 ，无法投资

 

 

 

时间复杂度分析： 

有两种分析方法，

 

小结： 

 

 

 

代码稍后加上！ 感谢老师耐心的讲解，学到很多东西~