现代精算风险理论13：风险序

目录

• 第十三讲 风险序
  • 第一节 更大的风险和随机序
    • 一、更大的风险
    • 二、随机序
  • 第二节 更危险的风险和停止损失序
    • 一、更危险的风险
    • 二、停止损失序
  • 第三节 其他风险序及其性质
    • 一、单调凸序
    • 二、指数序

第十三讲 风险序

第一节 更大的风险和随机序

一、更大的风险

风险比较是精算最本质的工作。本章将介绍用来比较的数学概念和工具，并给出一些可以推导的非寿险精算中的重要结果。假设风险可以表示为一个非负随机变量，本节我们将讨论一个风险大于或等于另一个风险的条件。

更大的风险：对于风险 \(X\) 和 \(Y\) ，若存在一对随机变量 \((X^\prime,Y)\) 满足 \(X^\prime\sim X\) 和 \({\rm Pr}(X^\prime\leq Y)=1\) ，则称 \(Y\) 大于 \(X\) 。

注意：在此定义下，我们并没有只考虑边际分布函数 \(F_X\) 和 \(F_Y\) ，而且还考虑 \(X^\prime\) 和 \(Y\) 的联合分布。

我们来看一个二项分布随机变量的例子。

记 \(X\) 为 \(7\) 次投掷一枚均匀硬币出现正面的次数，记 \(Y\) 为 \(10\) 次投掷一枚非均匀硬币出现正面的次数，这里非均匀硬币每次投掷出现证明的概率为 \(p>0.5\) 。

设 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，则事件 \(X>Y\) 的概率非零：

\[\begin{aligned} {\rm Pr}\left(X>Y\right)&=\sum_{k=0}^7{\rm Pr}\left(Y<k\right){\rm Pr}\left(X=k\right) \\ \\ &=\sum_{k=0}^7C_7^k\times\left(\frac12\right)^7{\rm Pr}\left(Y<k\right) \\ \\ &=\sum_{k=0}^7C_7^k\times\left(\frac12\right)^7\sum_{j=0}^{k-1}C_{10}^jp^7\left(1-p\right)^{10-j}\neq0. \end{aligned} \]

那么问题来了：是否可以找到 \(X^\prime\) 与 \(X\) 具有相同的分布，且满足 \({\rm Pr}\left(X^\prime\leq Y\right)=1\) 呢？我们需要设计一个试验，在该试验中能够定义随机变量 \(X^\prime\) 且满足上述条件。

随机试验的构造：

• 投掷以概率 \(p>0.5\) 出现正面的非均匀硬币 \(10\) 次，出现正面的次数记为 \(Y\) 。
• 在前 \(7\) 次投掷中，每当出现正面，我们立即投掷另一枚以概率 \(1/2p\) 出现正面的硬币，硬币出现的正面次数为 \(X^\prime\) ，可以证明 \(X^\prime\sim B(7,0.5)\) ，与 \(X\) 同分布。
• 因为只有当第一枚非均匀硬币出现正面时，第二枚才抛，因此显然有 \({\rm Pr}\left(X^\prime\leq Y\right)=1\) 。

这里我们给出 \(X^\prime\) 与 \(X\) 同分布的证明：

记 \(Y^\prime\) 表示投掷非均匀硬币 \(7\) 次出现正面的次数，即 \(Y^\prime\sim B(7,p)\) ，于是

\[\begin{aligned} {\rm Pr}\left(X^\prime=k\right)&=\sum_{j=k}^7{\rm Pr}\left(X^\prime=k,Y^\prime=j\right) \\ \\ &=\sum_{j=k}^7{\rm Pr}\left(X^\prime=k\mid Y^\prime=j\right) {\rm Pr}\left(Y^\prime=j\right) \\ \\ &=\sum_{j=k}^7C_j^k\left(\frac1{2p}\right)^k\left(1-\frac1{2p}\right)^{j-k}C_7^jp^j\left(1-p\right)^{7-j} \\ \\ &=\sum_{j=k}^7\frac{j!}{k!(j-k)!}\frac{7!}{j!(7-j)!}\left(\frac1{2p}\right)^k\left(1-\frac1{2p}\right)^{j-k}p^j\left(1-p\right)^{7-j} \\ \\ &=\frac{7!}{k!(7-k)!}\left(\frac{1}{2p-1}\right)^k\sum_{j=k}^7\frac{(7-k)!}{(7-j)!(j-k)!}\left(p-\frac12\right)^j\left(1-p\right)^{7-j} \\ \\ &=C_7^k\left(\frac{1}{2p-1}\right)^k\sum_{l=0}^{7-k}C_{7-k}^{7-k-l}\left(p-\frac12\right)^{k+l}\left(1-p\right)^{7-k-l} \\ \\ &=C_7^k\left(\frac{1}{2p-1}\right)^k\left(p-\frac12\right)^{k}\sum_{l=0}^{7-k}C_{7-k}^{7-k-l}\left(p-\frac12\right)^{l}\left(1-p\right)^{7-k-l} \\ \\ &=C_7^k\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(p-\frac12+1-p\right)^{7-k} \\ \\ &=C_7^k\left(\frac{1}{2}\right)^7. \end{aligned} \]

下面这个定理给出了风险 \(Y\) 大于 \(X\) 的等价条件，即更大的随机变量具有较小的分布函数。

定理：存在一对随机变量 \(\left(X^\prime,Y\right)\) 使得 \(X^\prime\sim X\) 且 \({\rm Pr}\left(X^\prime\leq Y\right)=1\) ，当且仅当 \(F_X(x)\geq F_Y(x)\) 对所有的 \(x\geq0\) 成立。

\(\Longrightarrow\) ：如果 \(X^\prime\leq Y,\ {\rm a.s.}\) ，则 \(\forall x\geq0\) ，有 \({\rm Pr}\left(Y\leq x\right)\leq {\rm Pr}\left(X^\prime\leq x\right)\) ，因此，有 \(F_X(x)\geq F_Y(x)\) 。

\(\Longleftarrow\) ：仅给出两种特殊情形的证明。

(1) 当 \(F_X(x)\) 和 \(F_Y(x)\) 都是连续函数时，取 \(X^\prime=F_X^{-1}\left(F_Y(Y)\right)\) 。

可以证明 \(F_Y(Y)\) 服从 \(U(0,1)\) 均匀分布，进而有 \(F_X^{-1}\left(F_Y(Y)\right)\xlongequal{d} X\) 。

由于 \(F_X(x)\geq F_Y(x)\) ，所以有 \(F_X(Y)\geq F_Y(Y),\ {\rm a.s.}\) 。

又由于 \(F_X^{-1}\) 的单调性，即有 \(Y\geq F_X^{-1}\left(F_Y(Y)\right)=X^\prime,\ {\rm a.s.}\) ，因此有 \(X^\prime\leq Y,\ {\rm a.s.}\) 。

(2) 当 \(X\) 和 \(Y\) 为离散型随机变量时，考虑 \(F_X(x)\) 和 \(F_Y(y)\) 的如下逆函数：对 \(\forall 0<u<1\) ，定义

\[\begin{aligned} &f(u)=x,\quad F_X(x-0)<u\leq F_X(x); \\ \\ &g(u)=y,\quad F_Y(y-0)<u\leq F_Y(y). \end{aligned} \]

设 \(U\sim U(0,1)\) ，则 \(g(U)\sim Y\) 和 \(f(U)\sim X\) 。

于是 \(F_X(x)\geq F_Y(x),\ \forall x\geq0\) 成立蕴含了 \(f(u)\geq g(u),\ \forall u\in(0,1)\) ，所以有 \({\rm Pr}\left[f(U)\leq g(U)\right]=1\) 。

二、随机序

有了以上更大的风险的概念，我们就可以引出随机序的定义了。

随机序：对 \(\forall x>0\) ，有 \(F_X(x)\geq F_Y(x)\) 或等价地有 \(\overline{F}_X(x)\leq\overline{F}_Y(x)\) ，则称风险 \(X\) 在随机序意义下小于风险 \(Y\) ，记作 \(X\leq_{st}Y\) 。

定理（随机序的一个充分条件） 如果 \(X\) 和 \(Y\) 的密度函数分别为 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) ，存在一个 \(x_0\) ，满足

\[\begin{aligned} &x\leq x_0 , \quad f(x)\geq g(x); \\ \\ &x>x_0 , \quad f(x)\leq g(x), \end{aligned} \]

则必有 \(X\leq_{st} Y\) 。注意，该条件反之不一定成立。

在很多场合，我们需要考虑一个涉及多个随机变量的模型，例如，比较风险 \(X+Z\) 和风险 \(Y+Z\) 风险序的大小，其中风险 \(Z\) 与 \(X\) 和 \(Y\) 独立。

定理（随机序的卷积封闭性）

(1) 如果 \(X\leq_{st}Y\) ，且 \(Z\) 与 \(X\) 和 \(Y\) 独立，则有 \(X+Z\leq_{st}Y+Z\) 。

(2) 如果 \(\{X_i,i\geq1\}\) 和 \(\{Y_i,i\geq1\}\) 是两个相互独立的随机变量序列，且 \(X_i\leq_{st}Y_i,\ i=1,2,\cdots,n\) ，则有

\[\sum_{i=1}^nX_i\leq_{st}\sum_{i=1}^nY_i. \]

(1) 如果 \(X\leq_{st}Y\) ，则存在 \(Y^\prime\) 与 \(Y\) 同分布，使得 \(X\leq Y^\prime,\ {\rm a.s.}\) 成立。

由此可得 \(X+Z\leq Y^\prime+Z,\ {\rm a.s.}\) 成立。由于 \(Y^\prime+Z\) 与 \(Y+Z\) 同分布，所以 \(X+Z\leq_{st}Y+Z\) 。

(2) 由 \(X_1\leq_{st}Y_1\) 可得 \(X_1+X_2\leq_{st}Y_1+X_2\) 。由 \(X_2\leq_{st} Y_2\) 可得 \(Y_1+X_2\leq_{st}Y_2+X_2\) 。所以有

\[X_1+X_2\leq_{st}Y_1+Y_2. \]

以此类推，结论成立。

定理（随机序的复合封闭性） 如果每个理赔额 \(X_i\leq_{st}Y_i,\ i=1,2,\cdots,n\) ，理赔次数 \(M\leq_{st}N\) ，且所有变量相互独立，则有

\[\sum_{i=1}^MX_i\leq_{st}\sum_{i=1}^NY_i. \]

不失一般性，假设存在 \(X_i^\prime\leq Y_i,\ {\rm a.s.}\) 以及 \(M^\prime\leq N,\ {\rm a.s.}\) ，则有

\[\sum_{i=1}^{M^\prime}X_i^\prime\leq\sum_{i=1}^{M^\prime}Y_i\leq\sum_{i=1}^{N}Y_i, \]

所以有

\[\sum_{i=1}^MX_i\leq_{st}\sum_{i=1}^NY_i. \]

定理（随机序下更大的风险具有更大的均值） 随机序 \(X\leq_{st}Y\) 的一个必要条件是 \(\mathbb{E}\left[X\right]\leq\mathbb{E}\left[Y\right]\) ，且除了 \(X\sim Y\) 之外总有 \(\mathbb{E}\left[X\right]<\mathbb{E}\left[Y\right]\) 。反之不成立。

一个反例：设 \(X\sim B(1,p)\) ，其中 \(p=0.5\) ，且对 \(0.5<c<1\) ，设 \({\rm Pr}(Y=c)=1\) 。

显然有

\[\mathbb{E}\left[X\right]=0.5<c=\mathbb{E}\left[Y\right]. \]

但 \(X\leq_{st} Y\) 不成立，即

\[\begin{aligned} {\rm Pr}\left(X\leq Y\right)={\rm Pr}\left(X=1,Y=c\right)=0.5<1. \end{aligned} \]

定理（随机序和单调递增效用函数） 随机序 \(X\leq_{st}Y\) 当且仅当对每个单调增函数 \(f(\cdot)\) ，都有

\[\mathbb{E}\left[f(X)\right]\leq\mathbb{E}\left[f(Y)\right]. \]

\(\Longleftarrow\) ：如果对每个单调增函数 \(f(\cdot)\) ，都有 \(\mathbb{E}\left[f(X)\right]\leq\mathbb{E}\left[f(Y)\right]\) ，则对 \(\forall d\in\mathbb{R}\) 取

\[f_d(x)=I_{(d,\infty)}(x)\left\{\begin{array}{ll} 1 , & x\in [d,\infty), \\ \\ 0, & x\in (-\infty,d). \end{array}\right. \]

显然 \(f_d(x)\) 是关于 \(x\) 的单调增函数，因此有

\[\overline{F}_X(d)\leq \overline{F}_Y(d). \]

所以随机序 \(X\leq_{st}Y\) 成立。

\(\Longrightarrow\) ：如果随机序 \(X\leq_{st}Y\) 成立，则存在 \(X^\prime \sim X\) ，有 \({\rm Pr}\left(X^\prime\leq Y\right)=1\) ，所以

\[\mathbb{E}\left[f(X)\right]=\mathbb{E}\left[f(X^\prime)\right]\leq\mathbb{E}\left[f(Y)\right]. \]

定理（随机序和高维单调递增效用函数） 假设 \(\{X_i,i\geq1\}\) 和 \(\{Y_i,i\geq1\}\) 均是独立随机变量序列，并且有 \(X_i\leq_{st} Y_i,\ i\geq1\) ，则对于任意的 \(\psi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) 的 \(n\) 维单调增函数，有

\[\psi\left(X_1,X_2,\cdots,X_n\right)\leq_{st}\psi\left(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\right). \]

根据假设条件，存在 \(X_i^\prime\) 与 \(X_i\) 具有相同的分布，且有 \(X_i^\prime\leq Y_i,\ {\rm a.s.}\) 。又由 \(\psi\) 的单调性知

\[\psi\left(X_1^\prime,X_2^\prime,\cdots,X_n^\prime\right)\leq\psi\left(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\right),\quad {\rm a.s.}. \]

即有 \(\psi\left(X_1,X_2,\cdots,X_n\right)\leq_{st}\psi\left(Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\right)\) 。

第二节 更危险的风险和停止损失序

一、更危险的风险

在经济学中，当要在两个潜在的损失中作出选择时，人们通常偏好具有较小均值的损失风险。如果两个风险有相同的均值，那么一些决策者简单地选择具有较小方差的那个风险。这种均值一方差序的概念构成了经济学理论中资本资产定价模型的基础。

对精算师来说是不够的，精算师必须关心那些从方差中无法看得出的小概率事件，这些事件一旦发生可能导致破产。所有厌恶风险的精算师都认同如果一个风险的尾概率较大，那么该风险更危险。

更重的尾：对于两个风险 \(X\) 和 \(Y\) ，如果 \(\mathbb{E}\left(X\right)=\mathbb{E}\left(Y\right)\) ，且存在某个实数 \(x_0\) 使得

\[\begin{aligned} x<x_0, \quad {\rm Pr}\left[X\leq x\right]\leq {\rm Pr}\left[Y\leq x\right]; \\ \\ x>x_0, \quad {\rm Pr}\left[X\leq x\right]\geq {\rm Pr}\left[Y\leq x\right], \end{aligned} \]

则称 \(Y\) 相对 \(X\) 是具有更重的尾，记作 \(Y>_{tt}X\) 。

更重的尾要求两个随机变量的分布具有两个性质：均值相同，分布函数交叉一次。两个相交的分布函数仅交叉一次的一个充分条件是，这两个函数的差先单调递增，再单调递减，最后再单调递增。

注意：更重的尾的风险序关系不具有传递性。

定理（密度函数交叉两次表明分布函数交叉一次） 设风险 \(X\) 和 \(Y\) 具有相同的有限均值，但有不同的概率密度函数。如果存在区间 \(I_1,I_2,I_3\) 满足 \(I_1\cup I_2\cup I_3=[0,\infty)\) ，并且 \(I_2\) 介于 \(I_1\) 和 \(I_3\) 之间。如果

• 在 \(I_1\) 和 \(I_3\) 上，\(X\) 和 \(Y\) 的概率密度函数满足 \(f_X(x)\leq f_Y(x)\) ；
• 在 \(I_2\) 上，\(X\) 和 \(Y\) 的概率密度函数满足 \(f_X(x)\geq f_Y(x)\) ，

则 \(X\) 和 \(Y\) 的分布函数仅交叉一次。

由假设 \(f_X\not\equiv f_Y\) 和 \(\mathbb{E}\left[X\right]= \mathbb{E}\left[Y\right]<\infty\) ，我们可知分布函数 \(F_X\) 和 \(F_Y\) 至少交叉一次。

这是因为如果它们不相交，则由定理（随机序的充分条件）知其中一个分布函数必在随机序意义下大于另一个，此时它们的均值必不相同。

注意到在 \(0\) 点的左侧和在 \(\infty\) 处，两个分布函数差值均为零，概率密度函数表示分布函数的导数或跳点的跨度。在这两种情形下，两分布函数差首先单调递增，达到一个最大值，接着单调递减，达到一个最小值，最后再单调递增到零。

所以，在 \(I_2\) 中存在一个点，两个分布函数差于该点穿过 \(x\) 轴，因此两个分布函数相互交叉一次，即使密度函数为微分形式，该性质仍然成立。

由上述定理的表述可知，无论是离散型随机变量，还是连续型随机变量，都可以利用更重的尾作为衡量更危险的风险序关系。

例如：二项分布的尾轻于泊松分布的尾。

如果将二项分布 \(B(n,p)\) 与泊松分布 \(P(np)\) 进行比较，容易知道，两者具有相同的均值 \(np\) ，而后者具有较大的方差 \(np(1-p)<np\) 。下面讨论是否泊松分布相对于二项分布具有更重的尾。

下面证明二项分布和泊松分布的概率密度函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 交叉两次。

因为 \(f(x)>g(x)>0 \ \ \iff \ \ r(x)\equiv f(x)/g(x)>1\) ，故只需证 \(r(x)\) 关于 \(x\) 先是单调递增，后是单调递减。记 \(q=1-p\) ，则有

\[r(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{C_n^xp^xq^{n-x}}{(np)^xe^{-np}/x!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-x+1)}{n^xq^x}q^ne^{np}. \]

接下来考虑 \(r(x)\) 在相邻点处的比值，对于 \(x=1,2,\cdots,\) ，我们有

\[\frac{r(x)}{r(x-1)}=\frac{n-x+1}{nq}\leq 1 \quad \iff \quad x\geq np+1. \]

因为 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 具有相同的均值，所以它们至少相交两次，这表明 \(r(x)=1\) 至少有两个零点。

所以对较小或较大的 \(x\) ，必有 \(r(x)<1\) 成立。而当 \(x\) 取值于 \(np+1\) 附近时，必有 \(r(x)>1\) 成立。

由上述定理可知，泊松分布确实比具有相同均值的二项分布具有更重的尾。

二、停止损失序

基于以上更危险的风险的概念，我们可以定义下面的停止损失序的风险序关系。

停止损失序：对于任意的随机变量 \(X\) 和 \(Z\) ，如果对于任意的 \(d\geq0\) ，

\[\mathbb{E}\left[X-d\right]\leq \mathbb{E}\left[Z-d\right]_+, \]

则称随机变量 \(X\) 依停止损失序小于随机变量 \(Z\) ，记作 \(X\leq_{SL}Z\) 。

定理（停止损失序的充分条件） 如果随机变量 \(X\) 和 \(Z\) 具有相同的均值，即 \(\mathbb{E}\left(X\right)=\mathbb{E}\left(Z\right)\) ，并且存在某个实数 \(x_0\) 使得

\[\begin{aligned} x<x_0, \quad \overline{F}(x)\geq \overline{G}(x); \\ \\ x>x_0, \quad \overline{F}(x)\leq \overline{G}(x), \end{aligned} \]

则有 \(X\leq_{SL}Z\) 。

对于任意的 \(d>x_0\) ，有

\[\mathbb{E}\left[X-d\right]_+=\int_d^\infty \overline{F}(x){\rm d}x\leq \int_d^\infty \overline{G}(x){\rm d}x=\mathbb{E}\left[Z-d\right]_+. \]

对于任意的 \(d<x_0\) ，有

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[X-d\right]_+&=\int_d^\infty \overline{F}(x){\rm d}x \\ \\ &=\mathbb{E}\left(X\right)-\int_0^d\overline{F}(x){\rm d}x \\ \\ &\leq \mathbb{E}\left(Z\right)-\int_0^d\overline{G}(x){\rm d}x=\mathbb{E}\left[Z-d\right]_+. \end{aligned} \]

如果一个随机变量在停止损失序意义下大于另一个具有相同均值的风险，这类风险就被称为更危险的风险。这里我们首先回顾一下停止损失函数的概念及其性质。

停止损失函数：对于任意的随机变量 \(X\) ，称 \(\pi_X(t)=\mathbb{E}\left[X-t\right]_+\) 为停止损失函数，并满足如下性质：

(1) 停止损失函数 \(\pi_X(t)\) 是关于 \(t\) 单调递减的凸函数；

(2) 停止损失函数的极限为

\[\lim_{t\to\infty}\pi_X(t)=0,\quad \lim_{t\to-\infty}\left[\pi_X(t)+t\right]=\mathbb{E}\left(X\right). \]

反之，对于任意的一个函数 \(\pi(t)\) 满足 (1) 和 (2) 两个条件，则一定存在一个随机变量 \(X\sim F(x)\) ，其停止损失函数为 \(\pi(t)\) 。

下面的定理将告诉我们更重的尾与更大的停止损失保费的关系。

定理（更重的尾与更大的停止损失保费） 如果对所有 \(d>0\) ，有 \(\mathbb{E}\left(X\right)=\mathbb{E}\left(Z\right)\) ，且有

\[\mathbb{E}\left[X-d\right]\leq \mathbb{E}\left[Z-d\right]_+, \]

即 \(X\leq_{SL}Z\) ，则有一个分布函数序列 \(F,F_1,F_2,\cdots\) ，相应地有 \(X\sim F,X_1\sim F_1,X_2\sim F_2,\cdots\) 以及分布函数极限 \(Z\sim \lim_{n\to\infty}F_n\) ，满足

\[\begin{aligned} (1)\qquad & \mathbb{E}\left(X\right)=\mathbb{E}\left(X_1\right)=\mathbb{E}\left(X_2\right)=\cdots=\mathbb{E}\left(Z\right), \\ \\ (2)\qquad & X\leq_{SL}X_1\leq_{SL}X_2\leq_{SL}\cdots\leq_{SL}Z. \end{aligned} \]

这里我们只证明一个特例：假设 \(Z\) 只取两个值：

\[{\rm Pr}\left[Z=z_1\right]=p,\quad {\rm Pr}\left[Z=z_2\right]=1-p,\quad z_1<z_2, \]

其停止损失函数为

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[Z-d\right]_+&=\left[z_1-d\right]_+p+\left[z_2-d\right]_+(1-p) \\ \\ &=\left\{\begin{array}{ll} z_1p+z_2(1-p)-d , & d<z_1 , \\ \\ (1-p)z_2-(1-p)d , & z_1\leq d<z_2, \\ \\ 0 , & d\geq z_2. \end{array}\right. \end{aligned} \]

令 \(A_1(d)=(1-p)(z_2-d)\) ，则有

\[\begin{aligned} &\pi_0(d)=\pi_X(d)=\mathbb{E}\left[X-d\right]_+, \\ \\ &\pi_1(d)=\max\left\{\pi_X(d),A_1(d)\right\}, \\ \\ &\pi_Z(d)=\pi_Z(d)=\mathbb{E}\left[Z-d\right]_+. \end{aligned} \]

可以证明 \(\pi_1(d)=\max\left\{\pi_X(d),A_1(d)\right\}\) 是一个停止损失函数，故存在一个随机变量 \(X_1\sim F_1(x)\) ，由停止损失函数 \(\pi_1(d)=\mathbb{E}\left[X_1-d\right]_+\) 决定。

由此构造可知 \(X\leq_{SL}X_1\leq_{SL}Z\) 。以此类推，可以构造出相应的分布函数序列 \(F_1,F_2,\cdots\) 。

注意：在停止损失序的定义中，我们并没有要求有等均值 \(\mathbb{E}\left(X\right)=\mathbb{E}\left(Z\right)\) 成立。下面我们将证明，在停止损失序意义下，任何大于 \(X\) 的风险 \(Z\) 都比一个中间风险 \(Y\) 更危险，且 \(Y\) 比风险 \(X\) 更大。

定理（停止损失序的分离定理） 对于任意的随机变量 \(X\) 和 \(Z\) ，如果有 \(X\leq_{SL}Z\) 和 \(\mathbb{E}\left(X\right)<\mathbb{E}\left(Z\right)\) 成立，则存在一个随机变量 \(Y\) ，使得

\[\begin{aligned} (1)\qquad & X\leq_{st}Y; \\ \\ (2)\qquad & Y\leq_{SL}Z,\quad \mathbb{E}\left(Y\right)=\mathbb{E}\left(Z\right). \end{aligned} \]

取 \(Y=\max\{X,b\},\ b>0\) ，满足 \(\mathbb{E}\left(Y\right)=\mathbb{E}\left(Z\right)\) ，即

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left(Y\right)&=\mathbb{E}\left[\min\{X,b\}\right] \\ \\ &=\mathbb{E}\left[X 1_{\{X>b\}}\right]+b{\rm Pr}\left(X\leq b\right) \\ \\ &=-\int_b^\infty x{\rm d}\overline{F}_X(x)+b{\rm Pr}\left(X\leq b\right) \\ \\ &=-x\overline{F}_X(x)\bigg|_b^\infty+\int_b^\infty \overline{F}_X(x){\rm d}x+b{\rm Pr}\left(X\leq b\right) \\ \\ &=b\overline{F}(b)+\int_b^\infty \overline{F}_X(x){\rm d}x+bF(b) \\ \\ &=b+\int_b^\infty \overline{F}_X(x){\rm d}x. \end{aligned} \]

所以参数 \(b\) 由下面的方程决定

\[b+\int_b^\infty \overline{F}_X(x){\rm d}x=\mathbb{E}\left(Z\right). \]

如果 \(d<b\) ，则有

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[\max\{X,b\}-d\right]_+&=\mathbb{E}\left[\left(X-d\right)_+1_{\{X>b\}}\right]+\mathbb{E}\left[(b-d)_+1_{\{X\leq b\}}\right] \\ \\ &=\int_b^\infty\left[x-d\right]_+{\rm d}F(x)+(b-d){\rm Pr}\left(X\leq b\right) \\ \\ &=-(x-d)\overline{F}(x)\bigg|_b^\infty+\int_b^\infty\overline{F}(x){\rm d}x+(b-d)F(b) \\ \\ &=(b-d)\overline{F}(b)+\int_b^\infty\overline{F}(x){\rm d}x+(b-d)F(b) \\ \\ &=b+\int_b^\infty\overline{F}(x){\rm d}x-d \\ \\ &=\mathbb{E}\left(Z\right)-d \\ \\ &=\mathbb{E}\left[Z-d\right]_+-\mathbb{E}\left[d-Z\right]_+ \\ \\ &\leq \mathbb{E}\left[Z-d\right]_+. \end{aligned} \]

如果 \(d\geq b\) ，则有

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[\max\{X,b\}-d\right]_+&=\mathbb{E}\left[\left(X-d\right)_+1_{\{X>b\}}\right]+\mathbb{E}\left[(b-d)_+1_{\{X\leq b\}}\right] \\ \\ &=\int_b^\infty\left[x-d\right]_+{\rm d}F(x)\\ \\ &=\mathbb{E}\left[X-d\right]_+ \\ \\ &\leq \mathbb{E}\left[Z-d\right]_+. \end{aligned} \]

定理（停止损失序的卷积封闭性）

(1) 如果风险 \(X\) 和 \(Y\) 满足 \(X\leq_{SL}Y\) ，且风险 \(Z\) 独立于 \(X\) 和 \(Y\) ，则

\[X+Z\leq_{SL}Y+Z. \]

(2) 如果风险 \(X_i,i=1,2,\cdots,n\) 和 \(Y_i,i=1,2,\cdots,n\) 分别是 \(X\) 和 \(Y\) 的 \(n\) 个独立拷贝，可以理解为简单随机样本，则

\[\sum_{i=1}^nX_i\leq_{SL}\sum_{i=1}^nY_i. \]

由 \(X\leq_{SL}Y\) 可知 \(\mathbb{E}\left(X\right)\leq\mathbb{E}\left(Y\right)\) ，所以

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[X+Z-d\right]_+&=\int_0^\infty\mathbb{E}\left[X+z-d\right]_+{\rm d}F_Z(z) \\ \\ &=\int_{z-d>0}\mathbb{E}\left[X+z-d\right]{\rm d}F_Z(z)+\int_{z-d\leq0}\mathbb{E}\left[X+z-d\right]_+{\rm d}F_Z(z) \\ \\ &\leq \int_{z-d>0}\mathbb{E}\left[Y+z-d\right]{\rm d}F_Z(z)+\int_{z-d\leq0}\mathbb{E}\left[Y+z-d\right]_+{\rm d}F_Z(z) \\ \\ &=\int_0^\infty\mathbb{E}\left[Y+z-d\right]_+{\rm d}F_Z(z) \\ \\ &=\mathbb{E}\left[Y+Z-d\right]_+. \end{aligned} \]

定理（停止损失序的混合封闭性） 设分布函数 \(F_y\) 和 \(G_y\) 对任意给定的 \(y\) 满足 \(F_y\leq_{SL}G_y\) ，\(U(y)\) 是一个分布函数，记

\[\begin{aligned} &F(x)=\int_{\mathcal{R}}F_y(x){\rm d}U(y), \\ \\ &G(x)=\int_{\mathcal{R}}G_y(x){\rm d}U(y), \end{aligned} \]

则 \(F\leq_{SL}G\) 。

由 \(F_y\leq_{SL}G_y\) 可知

\[\int_d^\infty\left[1-F_y(x)\right]{\rm d}x\leq \int_d^\infty\left[1-G_y(x)\right]{\rm d}x. \]

计算 \(F\) 和 \(G\) 的停止损失函数：

\[\begin{aligned} \pi_F(d)&=\int_d^\infty \left[1-F(x)\right]{\rm d}x \\ \\ &=\int_d^\infty\left[1-\int_{\mathcal{R}}F_y(x){\rm d}U(y)\right]{\rm d}x \\ \\ &=\int_d^\infty\int_{\mathcal{R}}\left[1-F_y(x)\right]{\rm d}U(y){\rm d}x \\ \\ &=\int_{\mathcal{R}}\int_d^\infty\left[1-F_y(x)\right]{\rm d}x{\rm d}U(y) \\ \\ &\leq\int_{\mathcal{R}}\int_d^\infty\left[1-G_y(x)\right]{\rm d}x{\rm d}U(y) \\ \\ &=\int_d^\infty \left[1-G(x)\right]{\rm d}x=\pi_G(d). \end{aligned} \]

由此立即得证 \(F\leq_{SL}G\) 。

推论：由停止损失序的混合封闭性定理可以得出如下的一些结论：

(1) 如果 \(N\) 为取正整数的随机变量

\[F_n(x)={\rm Pr}\left[X\leq x\mid N=n\right],\quad G_n(x)={\rm Pr}\left[Y\leq x\mid N=n\right], \]

且对任意的 \(n\) 都有 \(F_n\leq_{SL}G_n\) ，则 \(X\leq_{SL}Y\) 。

(2) 设 \(\left\{X_i,i\geq1\right\}\) 和 \(\left\{Y_i,i\geq1\right\}\) 分别是两个独立同分布的随机变量序列，设 \(F\) 和 \(G\) 分别是单一理赔 \(X_i\) 和 \(Y_i\) 的分布函数，如果 \(F\leq_{SL}G\) ，则有

\[\sum_{i=1}^NX_i\leq_{SL}\sum_{i=1}^NY_i. \]

(3) 如果 \(\Lambda\) 是一个结构变量，具有分布函数 \(U(\lambda)\) ，给定 \(\Lambda=\lambda\) ，有 \(X\sim F_\lambda\) 和 \(Y\sim G_\lambda\) 。如果对所有的 \(\lambda\) ，有 \(F_\lambda\leq_{SL}G_\lambda\) ，则有 \(X\leq_{SL}Y\) 。

(4) 对于任意的随机变量 \(X\) 和 \(\Lambda\) ，有

\[\mathbb{E}\left[X\mid\Lambda\right]\leq_{SL}X. \]

这里我们给出 (4) 的证明。

记 \(G_\lambda\) 为 \(\mathbb{E}\left[X\mid\Lambda=\lambda\right]\) 的分布函数，为一退化分布，\(F_\lambda\) 为 \(X\mid\Lambda=\lambda\) 的分布函数。

由 \((x-d)_+\) 是凸函数可知

\[\left[\mathbb{E}(X\mid\Lambda=\lambda)-d\right]_+\leq \mathbb{E}\left[(X\mid\Lambda=\lambda)-d\right]_+. \]

从而有 \(G_\lambda\leq_{SL} F_\lambda\) 。由推论 (3) 可知 \(\mathbb{E}\left[X\mid\Lambda\right]\leq_{SL}X\) 。

第三节 其他风险序及其性质

一、单调凸序

注意到函数 \((x-d)_+\) 是关于 \(x\) 的凸函数，因此停止损失序又可以描述为某种凸序关系，下面我们介绍其定义和若干性质。

单调凸序：对于随机变量 \(X\) 和 \(Y\) ，如果对任意的单调递增凸函数 \(f(x)\) ，有 \(\mathbb{E}\left[f(X)\right]\leq\mathbb{E}\left[f(Y)\right]\) ，则称随机变量 \(X\) 以单调增凸小于随机变量 \(Y\) ，记为 \(X\leq_{icx}Y\) 。

定理（停止损失序和单调凸序的等价性） 对于随机变量 \(X\) 和 \(Y\) ，停止损失序 \(X\leq_{SL}Y\) 的充分必要条件为，对于任意的单调递增凸函数 \(f(x)\) ，都有 \(\mathbb{E}\left[f(X)\right]\leq\mathbb{E}\left[f(Y)\right]\) 。

该定理说明了 \(X\leq_{SL}Y\ \iff \ X\leq_{icx}Y\) ，我们在此就不进行证明了。利用这一等价关系，我们可以用来这个证明停止损失序的复合封闭性。

定理（停止损失序的复合封闭性） 如果 \(M,N\) 均为计数随机变量，且 \(M\leq_{SL}N\) ，设 \(X_1,X_2,\cdots\) 是风险 \(X\) 的独立拷贝，则有

\[\sum_{i=1}^MX_i\leq_{SL}\sum_{i=1}^NX_i. \]

记 \(f_d(n)=\mathbb{E}\left[(X_1+X_2+\cdots+X_n)-d\right]_+\) ，则 \(f_d(n)\) 是关于 \(n\) 的凸函数E即

\[f_d(n+2)-f_d(n+1)\geq f_d(n+1)-f_d(n). \]

由于 \(f_d(n)\) 是关于 \(n\) 的凸函数，并且关于 \(n\) 是单调的，由单调凸序与停止损失序的等价性知

\[M\leq_{SL}N \quad \iff \quad f_d(M)\leq_{SL} f_d(N). \]

其中

\[\mathbb{E}\left[f_d(M)-d\right]_+=\mathbb{E}\left[(X_1+X_2+\cdots+X_M)-d\right]_+ \]

下面我们给出 \(f_d(n)\) 是关于 \(n\) 的凸函数的详细证明。

记 \(S=X_1+X_2+\cdots+X_n\) ，故只需证

\[\mathbb{E}\left[S+X_{n+1}+X_{n+2}-d\right]_+-\mathbb{E}\left[S+X_{n+1}-d\right]_+\geq \mathbb{E}\left[S+X_{n+2}-d\right]_+-\mathbb{E}\left[S-d\right]_+. \]

这里用到了 \(X_{n+1}\) 与 \(X_{n+2}\) 同分布，因此

\[\mathbb{E}\left[(X_1+X_2+\cdots+X_n+X_{n+1})-d\right]_+=\mathbb{E}\left[(X_1+X_2+\cdots+X_n+X_{n+2})-d\right]_+. \]

下面分四种情况讨论：

(1) 若 \(\mathbb{E}\left[S+X_{n+1}-d\right]_+=0,\ \mathbb{E}\left[S+X_{n+2}-d\right]_+=0\) ，显然 \(\mathbb{E}\left[S-d\right]_+=0\) ，于是

\[{\rm LHS}=\mathbb{E}\left[S+X_{n+1}+X_{n+2}-d\right]_+>0={\rm RHS}. \]

(2) 若 \(\mathbb{E}\left[S+X_{n+1}-d\right]_+>0,\ \mathbb{E}\left[S+X_{n+2}-d\right]_+=0\) ，显然 \(\mathbb{E}\left[S+X_{n+1}+X_{n+2}-d\right]_+>0\) ，于是

\[{\rm LHS}=\mathbb{E}\left[X_{n+2}\right]>-\mathbb{E}\left[S-d\right]_+={\rm RHS}. \]

(3) 若 \(\mathbb{E}\left[S+X_{n+1}-d\right]_+=0,\ \mathbb{E}\left[S+X_{n+2}-d\right]_+>0\) ，显然 \(\mathbb{E}\left[S+X_{n+1}+X_{n+2}-d\right]_+>0\) ，于是

\[{\rm LHS}=\mathbb{E}\left[S+X_{n+2}-d\right]+ \mathbb{E}\left[X_{n+1}\right]>\mathbb{E}\left[S+X_{n+2}-d\right]-\mathbb{E}\left[S-d\right]_+={\rm RHS}. \]

(4) 若 \(\mathbb{E}\left[S+X_{n+1}-d\right]_+>0,\ \mathbb{E}\left[S+X_{n+2}-d\right]_+>0\) ，显然 \(\mathbb{E}\left[S+X_{n+1}+X_{n+2}-d\right]_+>0\) ，于是

\[{\rm LHS}=\mathbb{E}\left[S+X_{n+2}-d\right]-\mathbb{E}\left[S-d\right]>\mathbb{E}\left[S+X_{n+2}-d\right]-\mathbb{E}\left[S-d\right]_+={\rm RHS}. \]

定理（复合二项分布的停止损失序） 如果 \(M\sim B(1,q)\) ，\(N\) 是一个计数随机变量，满足 \(\mathbb{E}(N)\geq q\) 。设随机变量 \(X_1,X_2,\cdots\) 是风险 \(X\) 的独立拷贝，则

\[MX\leq_{SL}\sum_{i=1}^NX_i. \]

(1) 证明对每个 \(d\geq0\) ，下面事件以概率 \(1\) 成立：

\[(X_1+X_2+\cdots+X_n-d)_+\geq(X_1-d)_++(X_2-d)_++\cdots+(X_n-d)_+. \]

(2) 由于 \(X_i\) 与 \(X\) 独立同分布，\(\mathbb{{E}}\left[X_i-d\right]_+=\mathbb{{E}}\left[X-d\right]_+\) ，所以

\[\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^nX_i-d\right]_+\geq\sum_{i=1}^n\mathbb{{E}}\left[X_i-d\right]_+=n\mathbb{{E}}\left[X-d\right]_+. \]

(3) 又因为

\[\mathbb{E}\left[MX-d\right]_+=(1-q)\mathbb{E}\left[-d\right]_++q\mathbb{E}\left[X-d\right]_+=q\mathbb{E}\left[X-d\right]_+. \]

记 \(q_n={\rm Pr}(N=n)\) ，则有

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[X_1+X_2+\cdots+X_N-d\right]_+&=\sum_{n=1}^\infty q_n\mathbb{E}\left[X_1+X_2+\cdots+X_n-d\right]_+ \\ \\ &\geq \sum_{n=1}^\infty q_n\left[\mathbb{E}\left(X_1-d\right)_++\cdots+\mathbb{E}\left(X_n-d\right)_+\right] \\ \\ &=\sum_{n=1}^\infty nq_n\mathbb{E}\left(X-d\right)_+ \\ \\ &\geq q\mathbb{E}\left(X-d\right)_+. \end{aligned} \]

又因为 \(\mathbb{E}\left[MX-d\right]_+=q\mathbb{E}\left(X-d\right)_+\) ，所以有

\[\mathbb{E}\left[MX-d\right]_+\leq\mathbb{E}\left[X_1+X_2+\cdots+X_N-d\right]_+, \\ \\ MX\leq_{SL}\sum_{i=1}^NX_i. \]

补充证明 (1) 中的不等式。

如果对于任意 \(x_i\geq0,\ x_i-d<0,\ i=1,2,\cdots,n\) ，则

\[(x_1+x_2+\cdots+x_n-d)_+\geq(x_1-d)_++(x_2-d)_++\cdots+(x_n-d)_+. \]

如果存在某一个 \(x_i-d>0\) ，不妨假设 \(x_1-d>0\) ，对于其余的 \(x_i\) 满足

\[x_2+\cdots+x_n\geq(x_2-d)_++\cdots+(x_n-d)_+. \]

两边同时加上 \(x_1-d\) ，有

\[x_1+x_2+\cdots+x_n-d\geq(x_1-d)_++(x_2-d)_++\cdots+(x_n-d)_+. \]

由于 \(x_1-d>0\) ，\(x_1+x_2+\cdots+x_n-d>0\) ，即有

\[(x_1+x_2+\cdots+x_n-d)_+\geq(x_1-d)_++(x_2-d)_++\cdots+(x_n-d)_+. \]

以此类推，即可得证。

二、指数序

这里我们只对指数序做一个简单的介绍。

指数序：如果对任意的 \(\alpha>0\) ，所有使用风险厌恶系数为 \(\alpha\) 的指数效用函数的决策者皆偏好损失 \(X\) 甚于 \(Y\) ，则称 \(X\) 在指数序意义下小于 \(Y\) ，记作 \(X\leq_{e}Y\) 。

注意：\(X\leq_eY\) 等价于 \(X\) 的矩母函数在区间 \((0,\infty)\) 上小于 \(Y\) 的矩母函数。

如果决策者面临选择的风险 \(X\) 和 \(Y\) ，他拥有的资本金为 \(w\) ，采用指数效用 \(u(x)=-\alpha e^{-\alpha x}\) ，从期望效用原理的角度考虑，资本金的期望效用为

\[\mathbb{E}\left[u(w-X)\right]=-\alpha\mathbb{E}\left[e^{-\alpha(w-X)}\right]=-\alpha e^{-\alpha w}\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}\right]. \]

如果风险 \(X\) 和 \(Y\) 满足指数序 \(X\leq_eY\) ，即 \(\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}\right]\leq\mathbb{E}\left[e^{\alpha Y}\right]\) ，则相应的有

\[\mathbb{E}\left[u(w-X)\right]\geq \mathbb{E}\left[u(w-Y)\right], \]

则此时决策者会偏向选择风险 \(X\) ，即风险 \(X\) 的损失在指数序意义下小于 \(Y\) 。

定理（指数序与停止损失序） 指数序成立的一个充分条件是停止损失序成立，即

\[X\leq_{SL} Y\quad \Longrightarrow\quad X\leq_eY. \]

注意：当 \(t>0\) 时，函数 \(e^{tx}\) 在 \((0,\infty)\) 上是凸函数。