现代精算风险理论06：保费计算原理

目录

• 第六讲 保费计算原理
  • 第一节 各种保费计算原理
    • 一、五种常见的保费计算原理
    • 二、两族重要的保费计算原理
    • 三、几种特殊的保费计算原理
  • 第二节 保费原理的性质
    • 一、保费原理的性质
    • 二、常见保费原理的性质
    • 三、指数保费原理的性质
  • 第三节 保费原理的刻画
    • 一、指数保费原理的刻画
    • 二、其他保费原理的刻画
  • 第四节 通过共保降低保费
  • 第五节 案例

第六讲 保费计算原理

第一节 各种保费计算原理

一、五种常见的保费计算原理

在第四讲和第五讲里面，我们利用期望效用模型，简单介绍了几种保费计算原理。这一讲我们进一步讨论各种保费计算原理的产生、性质和刻画等等。

假设风险 \(X\) 是一个随机变量，其保费计算原理仅依赖于其分布函数。当风险 \(X\) 的分布函数为 \(F_X\) 时，使用 \(\Pi[F_X]\) 或 \(\Pi[X]\) 来表示风险 \(X\) 的保费。

在之前的内容中，已经出现过的几种保费如下：

• 纯保费原理：\(\Pi[X]=\mathbb{E}(X)\) ，该原理也称为等价原理，只适用于风险中性的保险人。

• 期望值保费原理：\(\Pi[X]=(1+\alpha)\mathbb{E}(X)\) ，这里附加保费等于 \(\alpha\mathbb{E}(X)\) ，其中 \(\alpha>0\) 为参数。

• 方差保费原理：\(\Pi[X]=\mathbb{E}(X)+\alpha{\rm Var}(X)\) ，这里附加保费与方差成正比，其中 \(\alpha>0\) 为参数。

• 标准差保费原理：\(\Pi[X]=\mathbb{E}(X)+\alpha\sqrt{{\rm Var}(X)}\) ，这里附加保费与标准差成正比，其中 \(\alpha>0\) 为参数。

• 指数保费原理：\(\Pi[X]=\dfrac1\alpha\ln(m_X(\alpha))=\dfrac1\alpha\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}\right]\) ，参数 \(\alpha>0\) 称为风险厌恶系数。

定理（指数保费的极限）

• 指数保费随着 \(\alpha\) 的增加而增加；

• 当 \(\alpha\to 0^+\) 时，可以得到纯保费，即

  \[\lim_{\alpha\to0^+}\frac1\alpha\ln(m_X(\alpha))=\mathbb{E}(X). \]

• 当 \(\alpha\to\infty\) 时，保费趋于 \(X\) 可能取到的最大值，即设 \(X\) 是一个有限风险且有最大值 \(b\) ，则有

  \[\lim_{\alpha\to\infty}\frac1\alpha\ln(m_X(\alpha))=b. \]

(1) 令 \(v(x)=x^{\alpha/\gamma}\) ，其中 \(0<\alpha<\gamma\) ，则 \(v(\cdot)\) 是严格凹函数，有 Jensen 不等式可知

\[v(\mathbb{E}(Y))>\mathbb{E}[v(Y)]. \]

其中 \(Y\) 是一个随机变量。取 \(Y=e^{\gamma X}\) ，则有 \(v(Y)=e^{\alpha X}\) ，且有

\[\left(\mathbb{E}\left[e^{\gamma X}\right]\right)^{\alpha}=\left[\left(\mathbb{E}(Y)\right)^{\alpha/\gamma}\right]^\gamma>(\mathbb{E}[v(Y)])^\gamma=\left(\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}\right]\right)^\alpha. \]

即有 \((m_X(\alpha))^\gamma<(m_X(\gamma))^\alpha\) ，所以对任意的 \(0<\alpha<\gamma\) ，有

\[\frac1\alpha\ln(m_X(\alpha))<\frac1\gamma\ln(m_X(\gamma)). \]

故单调性成立，即指数保费随着 \(\alpha\) 的增加而增加。

(2) 由洛必达法则求导可得

\[\lim_{\alpha\to0}\frac1\alpha\ln(m_X(\alpha))=\lim_{\alpha\to0}\frac{m_X'(\alpha)}{m_X(\alpha)}=\frac{m_X'(0)}{m_X(0)}=\mathbb{E}(X). \]

(3) 由于 \(X\leq b,\ {\rm a.s.}\) ，所以有

\[\frac1\alpha\ln(m_X(\alpha))\leq b. \]

对于任意的 \(\varepsilon>0\) ，由

\[{\rm Pr}(X>b-\varepsilon)\leq \frac{\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}\right]}{e^{\alpha(b-\varepsilon)}}, \\ \\ \lim_{\alpha\to0}\frac1\alpha\ln(m_X(\alpha))\geq b-\varepsilon+\lim_{\alpha\to\infty}\frac1\alpha\ln({\rm Pr}(X>b-\varepsilon))\geq b-\varepsilon. \]

令 \(\varepsilon\to0\) ，则有

\[\lim_{\alpha\to\infty}\frac1\alpha\ln(m_X(\alpha))\geq b. \]

所以有

\[\lim_{\alpha\to\infty}\frac1\alpha\ln(m_X(\alpha))=b. \]

二、两族重要的保费计算原理

零效用保费原理：假设决策者的效用函数为 \(u(x)\) ，且满足 \(u'(x)>0,\ u''(x)<0\) ，又假设决策者拥有资金为 \(W\) ，则零效用保费 \(\Pi[X]\) 满足方程

\[u(W)=\mathbb{E}\left[u(W+\Pi[X]-X)\right]. \]

因此，零效用保费通常与决策者的资金有关。

特别地，对于风险厌恶系数为 \(\alpha\ (\alpha>0)\) 的指数效用函数，由方程可以解得

\[\Pi[X]=\frac{1}{\alpha}\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}\right]=\frac1\alpha\ln m_X(\alpha). \]

平均值保费原理：如果函数 \(v(\cdot)\) 是一个单调递增的凸函数，即 \(v'(x)>0,\ v''(x)>0\) ，由方程

\[\Pi[X]=v^{-1}(\mathbb{E}[v(X)]) \]

所决定的保费，称为平均值保费，该保费计算原理称为平均值保费原理。特别地，

• 当 \(v(x)=x\) 时，得到的平均值保费为纯保费；
• 当 \(v(x)=e^{\alpha x}\ (\alpha>0)\) 时，得到的平均值保费为指数保费。

三、几种特殊的保费计算原理

百分比保费原理：设 \(F_X(x)\) 是风险 \(X\) 的分布函数，则 \(\Pi[X]=\inf\{p|F_X(p)\geq1-\varepsilon\}\) 。即使用该原理时，保险人招致损失的概率至多为 \(\varepsilon,\ 0\leq\varepsilon\leq 1\) 。

最大损失保费原理：设 \(F_X(x)\) 是风险 \(X\) 的分布函数，则 \(\Pi[X]=\inf\{p|F_X(p)=1\}\) 。该保费是作为其他保费的一个极限情形出现的：

• 在指数保费原理中，取 \(\alpha\to\infty\) ，当风险 \(X\) 是有限时，即可得到最大损失保费。
• 在百分比保费原理中，取 \(\varepsilon\to0\) ，即可得到最大损失保费。
• 例如：假设一位孕妇购买了一个保单以保她生女孩，如果她生了男孩，则保费全额退还。

Esscher 保费原理：假设风险 \(X\) 是一个 \((0,\infty)\) 上的连续型随机变量，定义 Esscher 保费为

\[\Pi[X]=\frac{\mathbb{E}\left[Xe^{hX}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{hX}\right]}, \quad h\geq0. \]

我们可以将 Esscher 保费看作是与 \(X\) 有关的风险变量 \(Y\) 的纯保费。假设 \(X\) 的密度函数为 \(f\) ，分布函数为 \(F\) ，并且定义函数 \(g\) 如下：

\[g(x)=\frac{e^{hx}f(x)}{\displaystyle\int_0^\infty e^{hy}f(y)\mathrm{d}y}. \]

容易证明 \(g\) 是某一随机变量 \(Y\) 的密度函数，其分布函数为

\[G(x)=\frac{\displaystyle\int_0^x e^{hy}f(y)\mathrm{d}y}{m_X(h)}. \]

称 \(G\) 为函数 \(F\) 在参数 \(h\) 下的 Esscher 变换。由于 \(Y\) 的矩母函数可以写为

\[m_Y(t)=\int_{0}^\infty e^{ty}g(y)\mathrm{d}y, \]

所以 \(Y\) 的矩母函数可以由 \(X\) 的矩母函数变换得到：

\[m_Y(t)=\frac{m_X(t+h)}{m_X(h)}. \]

从 \(Y\) 的密度函数可以看出，其值域和 \(X\) 相同，但取值的概率有变化。从 \(X\) 到 \(Y\) 的变换中，取小值的概率减小了，取大值的概率增大了。

该 Esscher 原理可以看作是一种扭曲变换，从采用 \(X\) 的分布函数 \(F(x)\) 来计算损失，扭曲到采用 \(Y\) 的分布函数 \(G(x)\) 来计算损失。

通过这样一个变换，我们得到了一个安全的保费，即该保费是风险变量 \(Y\) 的纯保费。

第二节 保费原理的性质

一、保费原理的性质

一般要求保费原理 \(\Pi[X]\) 应该满足的六个性质：

(1) 非负负荷：该性质要求 \(\Pi[X]\geq\mathbb{E}(X)\) ，即保费不能低于索赔额的期望值。在破产理论中，没有附加的保费将最终导致破产。

(2) 无敲诈性：若某一风险变量的最大理赔额有限，则 \(\Pi[X]\leq\inf\{p|F_X(p)=1\}\) 。若保费不满足该条性质，则对个体而言没有购买该保险的动机。

(3) 相容性：对于 \(c>0\) ，有 \(\Pi[X+c]=\Pi[X]+c\) ，即如果理赔额被增加了某个固定的量，则保费也应该被增加一个相同的量。

(4) 可加性：对于独立的风险变量 \(X\) 和 \(Y\) ，有 \(\Pi[X+Y]=\Pi[X]+\Pi[Y]\) ，该性质描述的是将独立的风险变量集中在一起不影响保费总额。

(5) 平滑性：对于任何风险变量 \(X\) 和 \(Y\) ，有 \(\Pi[X]=\Pi[\Pi[X|Y]]\) 。

(6) 齐次性：对于任意的 \(\alpha>0\) ，有 \(\Pi[\alpha X]=\alpha\Pi[X]\) 。

复合分布的保费计算：聚合风险模型的保费一般要求保费计算原理具有可加性和平滑性。

• 设总理赔额 \(S\) 是复合分布，理赔发生次数为 \(N\) ，理赔额大小为 \(X\) 。

• 设保费原理 \(\Pi[\cdot]\) 既满足可加性又满足平滑性，则 \(S\) 的保费为

  \[\Pi[S]=\Pi[\Pi[S|N]]=\Pi[N\Pi[X]]. \]

• 若保费原理 \(\Pi[\cdot]\) 又满足齐次性，则 \(S\) 的保费为

\[\Pi[S]=\Pi[N]\Pi[X]. \]

二、常见保费原理的性质

这里我们主要对几种常见的保费计算原理，讨论它们的非负负荷、无敲诈性、相容性和可加性。

纯保费原理的性质：纯保费具有非负负荷、无敲诈性、相容性、可加性和平滑性。

纯保费就是风险变量 \(X\) 的数学期望，即 \(\Pi[X]=\mathbb{E}(X)\) ，由数学期望的性质容易证明：

非负负荷：\(\mathbb{E}(X)\geq\mathbb{E}(X)\) ；

相容性：\(\mathbb{E}(X+c)=\mathbb{E}(X)+c,\ \forall c>0\) 。

可加性：\(\mathbb{E}(X+Y)=\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)\) 。

平滑性：\(\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)]=\mathbb{E}(X)\) 。

下面证明无敲诈性，即证若 \(\inf\{p|F_X(p)=1\}<\infty\) ，则有 \(\mathbb{E}(X)\leq\inf\{p|F_X(p)=1\}\) 。

记 \(c=\inf\{p:F_X(p)=1\}\) ，则 \(\forall x>c\) ，都有 \(F_X(x)=1\) ，所以

\[\begin{aligned} \mathbb{E}(X)&=\int_{0}^\infty x\mathrm{d}F_X=\int_{0}^c x\mathrm{d}F_X+\int_{c}^\infty x\mathrm{d}1 \\ \\ &=\int_{0}^c x\mathrm{d}F_X \leq c\int_{0}^c \mathrm{d}F_X \leq c\int_{0}^\infty \mathrm{d}F_X=c. \end{aligned} \]

期望值保费原理的性质：期望值保费具有非负负荷、可加性，但不具有相容性、无敲诈性。

期望值保费由纯保费 \(\mathbb{E}(X)\) 和负荷保费 \(\theta\mathbb{E}(X)\) 两部分组成。

非负负荷：由于 \(\theta>0\) ，故非负负荷显然成立。

可加性：

\[\begin{aligned} \Pi[X+Y]&=(1+\theta)\mathbb{E}(X+Y) \\ \\ &=(1+\theta)\mathbb{E}(X)+(1+\theta)\mathbb{E}(Y) \\ \\ &=\Pi[X]+\Pi[Y]. \end{aligned} \]

相容性不成立：对 \(\forall c>0\) ，有

\[\begin{aligned} \Pi[X+c]&=(1+\theta)\mathbb{E}(X+c) \\ \\ &=(1+\theta)\mathbb{E}(X)+(1+\theta)c \\ \\ &>\Pi(X)+c. \end{aligned} \]

无敲诈性不成立：构造反例 \(\mathrm{Pr}(X=b)=1,\ b>0\) ，此时对于 \(\theta>0\) ，有

\[\Pi[X]=(1+\theta)\mathbb{E}(X)=(1+\theta)b>b=\inf\{p|F_X(p)=1\}. \]

方差保费原理的性质：方差保费具有非负负荷、可加性、相容性，但不具有无敲诈性。

方差保费的特点是负荷保费与 \({\rm Var}(X)\) 成正比

非负负荷：由于 \(\alpha>0\) 且方差是非负的，故非负负荷显然成立。

可加性：由于 \(X\) 和 \(Y\) 是独立的风险变量，故

\[\begin{aligned} \Pi[X+Y]&=\mathbb{E}(X+Y)+\alpha{\rm Var}(X+Y) \\ \\ &=\mathbb{E}(X)+\alpha{\rm Var}(X) +\mathbb{E}(Y)+\alpha{\rm Var}(Y) \\ \\ &=\Pi[X]+\Pi[Y]. \end{aligned} \]

相容性：注意到 \(\forall c>0,\ {\rm Var}(X+c)={\rm Var}(X)\) ，所以

\[\begin{aligned} \Pi[X+c]&=\mathbb{E}(X+c)+\alpha{\rm Var}(X+c) \\ \\ &=\mathbb{E}(X)+\alpha{\rm Var}(X)+c \\ \\ &=\Pi[X]+c. \end{aligned} \]

无敲诈性不成立：构造反例，令

\[{\rm Pr}(X=8)={\rm Pr}(X=12)=0.5. \]

则有 \(\mathbb{E}(X)=10,\ {\rm Var}(X)=4\) ，此时对于 \(\alpha>0.5\) ，有

\[\Pi[X]=\mathbb{E}(X)+\alpha{\rm Var}(X)=10+4\alpha>12=\inf\{p|F_X(p)=1\}. \]

标准差保费原理的性质：标准差保费具有非负负荷、相容性，但不具有可加性、无敲诈性。

标准差保费和方差保费类似，负荷保费与 \(\sqrt{{\rm Var}(X)}\) 成正比。

非负负荷：由于 \(\alpha>0\) 且标准差是非负的，故非负负荷显然成立。

相容性：注意到 \(\forall c>0,\ {\rm Var}(X+c)={\rm Var}(X)\) ，所以

\[\begin{aligned} \Pi[X+c]&=\mathbb{E}(X+c)+\alpha\sqrt{{\rm Var}(X+c)} \\ \\ &=\mathbb{E}(X)+\alpha\sqrt{{\rm Var}(X)}+c \\ \\ &=\Pi[X]+c. \end{aligned} \]

可加性不成立，因为标准差不具有可加性，即

\[\begin{aligned} \Pi[X+Y]&=\mathbb{E}(X+Y)+\alpha\sqrt{{\rm Var}(X+Y)} \\ \\ &\leq\mathbb{E}(X)+\alpha\sqrt{{\rm Var}(X)} +\mathbb{E}(Y)+\alpha\sqrt{{\rm Var}(Y)} \\ \\ &=\Pi[X]+\Pi[Y]. \end{aligned} \]

无敲诈性不成立：构造反例，令

\[{\rm Pr}(X=8)={\rm Pr}(X=12)=0.5. \]

则有 \(\mathbb{E}(X)=10,\ {\rm Var}(X)=4\) ，此时对于 \(\alpha>1\) ，有

\[\Pi[X]=\mathbb{E}(X)+\alpha\sqrt{{\rm Var}(X)}=10+2\alpha>12=\inf\{p|F_X(p)=1\}. \]

零效用保费原理的性质：零效用保费具有非负负荷、相容性和无敲诈性，除指数保费外，不具有可加性。

非负负荷：由于效用函数 \(u(x)\) 满足 \(u''(x)<0\) ，故由 Jensen 不等式可知

\[u(W)=\mathbb{E}\left[u(W+\Pi[X]-X)\right]\leq u(W+\Pi[X]-\mathbb{E}(X)), \]

又因为 \(u'(x)>0\) ，所以 \(\Pi[X]\geq\mathbb{E}(X)\) 。

相容性：设 \(Y=X+c\) ，由 \(\Pi[Y]\) 满足方程

\[\begin{aligned} u(W)&=\mathbb{E}[u(W+\Pi[Y]-Y)]=\mathbb{E}[u(W+\Pi[Y]-c-X)]. \\ \\ &=\mathbb{E}\left[u(W+\Pi[X]-X)\right], \end{aligned} \]

结合 \(u'(x)>0\) 可得 \(\Pi[X+c]=\Pi[Y]=\Pi[X]+c\) 。

无敲诈性：设 \(c=\inf\{p|F_X(p)=1\}\) ，对风险变量 \(X\) 总有 \(X\leq c\) ，所以

\[W-\Pi[X]-X\geq W-\Pi[X]-c. \]

由 \(u'(x)>0\) 可得

\[u(W)=\mathbb{E}\left[u(W+\Pi[X]-X)\right]\geq\mathbb{E}[u(W-\Pi[X]-c)]=u(W-\Pi[X]-c). \]

再由 \(u'(x)>0\) 可得 \(\Pi[X]\leq c=\inf\{p|F_X(p)=1\}\) 。

除指数保费外，可加性不成立：构造反例，设风险变量 \(X\) 和 \(Y\) 的分布为

\[{\rm Pr}(X=80)={\rm Pr}(X=120)=0.5, \\ \\ {\rm Pr}(Y=90)=0.6,\quad {\rm Pr}(Y=120)=0.4. \]

设保险人的当前财富值为 \(300\) ，效用函数为 \(u(x)=x-0.001x^2,\ x<500\) 。

利用零效用保费原理计算，则有

\[\begin{aligned} &u(300)=\mathbb{E}[u(300+\Pi[X]-X)] \quad \Longrightarrow \quad \Pi[X]=101.0025. \\ \\ &u(300)=\mathbb{E}[u(300+\Pi[Y]-Y)] \quad \Longrightarrow \quad \Pi[Y]=102.5407. \\ \\ &u(300)=\mathbb{E}[u(300+\Pi[X+Y]-X-Y)] \quad \Longrightarrow \quad \Pi[X+Y]=203.5460. \end{aligned} \]

所以 \(\Pi[X+Y]\neq \Pi[X]+\Pi[Y]\) 。指数保费原理的性质另作讨论。

Esscher 保费的性质：Esscher 保费具有非负负荷、可加性、相容性和无敲诈性。

将 Esscher 保费记为

\[\Pi[X]=\frac{\mathbb{E}\left[Xe^{hX}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{hX}\right]}=\mathbb{E}(Y), \quad h\geq0. \]

非负负荷：当 \(h=0\) 时，有 \(\mathbb{E}(Y)=\Pi[X]=\mathbb{E}(X)\) 。对于 \(h\geq0\) ，有

\[\begin{aligned} \mathbb{E}(Y^r)&=\frac{\mathrm{d}^r}{\mathrm{d}t^r}m_Y(t)\bigg|_{t=0} =\frac{\mathrm{d}^r}{\mathrm{d}t^r}\frac{m_X(t+h)}{m_X(h)}\bigg|_{t=0} =\frac{m_X^{(r)}(h)}{m_X(h)}. \end{aligned} \]

由此可得

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}\Pi[X]&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}\mathbb{E}(Y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}\frac{m_X'(h)}{m_X(h)} \\ \\ &=\frac{m_X''(h)m_X(h)-\left[m_X'(h)\right]^2}{\left[m_X(h)\right]^2} \\ \\ &=\mathbb{E}(Y^2)-\left[\mathbb{E}(Y)\right]^2 \\ \\ &={\rm Var}(Y)\geq0. \end{aligned} \]

所以 \(\Pi[X]\) 为 \(h\) 的单调不减函数，因此对 \(\forall h\geq0\) ，都有 \(\Pi[X]\geq\mathbb{E}(X)\) 。

可加性：

\[\begin{aligned} \Pi[X_1+X_2]&=\frac{\mathbb{E}\left[(X_1+X_2)e^{h(X_1+X_2)}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{h(X_1+X_2)}\right]} \\ \\ &=\frac{\mathbb{E}\left[X_1e^{hX_1}\right]\mathbb{E}\left[e^{hX_2}\right]+\mathbb{E}\left[e^{hX_1}\right]\mathbb{E}\left[X_2e^{hX_2}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{hX_1}\right]\mathbb{E}\left[e^{hX_2}\right]} \\ \\ &=\frac{\mathbb{E}\left[X_1e^{hX_1}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{hX_1}\right]} +\frac{\mathbb{E}\left[X_2e^{hX_2}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{hX_2}\right]} \\ \\ &=\Pi[X_1]+\Pi[X_2]. \end{aligned} \]

相容性：对 \(\forall c>0\) ，有

\[\begin{aligned} \Pi[X+c]&=\frac{\mathbb{E}\left[(X+c)e^{h(X+c)}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{h(X+c)}\right]} \\ \\ &=\frac{\mathbb{E}\left[Xe^{hX}\right]e^{hc}+c\mathbb{E}\left[e^{hX}\right]e^{hc}}{\mathbb{E}\left[e^{hX}\right]e^{hc}} \\ \\ &=\frac{\mathbb{E}\left[Xe^{hX}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{hX}\right]}+c \\ \\ &=\Pi[X]+c. \end{aligned} \]

无敲诈性：设 \(c=\inf\{p|F_X(p)=1\}\) ，对风险变量 \(X\) 总有 \(X\leq c\) ，从而有

\[Xe^{hX}\leq ce^{hX}. \]

所以有

\[\Pi[X]=\frac{\mathbb{E}\left[Xe^{hX}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{hX}\right]}\leq \frac{\mathbb{E}\left[ce^{hX}\right]}{\mathbb{E}\left[e^{hX}\right]}=c. \]

三、指数保费原理的性质

由于指数保费是零效用保费的一种，因此，指数保费具有非负负荷、相容性和无敲诈性。

下面证明指数保费也具有可加性和平滑性。

指数保费原理的可加性：

\[\begin{aligned} \Pi[X+Y]&=\frac1\alpha\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha(X+Y)}\right] \\ \\ &=\frac1\alpha\ln\left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}\right]\mathbb{E}\left[e^{\alpha Y}\right]\right] \\ \\ &=\frac1\alpha\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}\right]+\frac1\alpha\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha Y}\right] \\ \\ &=\Pi[X]+\Pi[Y]. \end{aligned} \]

指数保费原理的平滑性：

\[\begin{aligned} \Pi[\Pi[X|Y]]&=\frac1\alpha\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha\Pi[X|Y]}\right] \\ \\ &=\frac1\alpha\ln\mathbb{E}\left[\exp\left\{\alpha\times\frac1\alpha\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}|Y\right]\right\}\right] \\ \\ &=\frac1\alpha\ln\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}|Y\right]\right] \\ \\ &=\frac1\alpha\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}\right]=\Pi[X]. \end{aligned} \]

指数保费的优势和不足：

• 只有指数保费原理，最大损失保费原理和纯保费原理满足所有这些性质。
• 鉴于最大损失保费原理和纯保费原理的实际意义不大，只有指数保费原理是有意义的，并且满足所有五个性质的保费。
• 指数保费原理的一个不足之处在于决策者所做的决策不依赖于当前他已获得的资本金，即风险厌恶系数是常数。

第三节 保费原理的刻画

一、指数保费原理的刻画

在证明只有指数效用函数 \(u(\cdot)\) 才满足某个性质时，常用的证明技巧是：先把这个性质应用到一个具有简单结构的风险变量上，然后再推导一个关于 \(u(\cdot)\) 的微分方程，且该微分方程只对指数函数和线性函数成立。由于线性效用函数是指数效用函数的极限，故这里我们只讨论指数效用的情况。

定理：如下的四个命题成立：

1. 满足相容性的平均值保费原理是指数保费原理或纯保费原理。
2. 满足可加性的平均值保费原理是指数保费原理或纯保费原理。
3. 满足可加性的零效用保费原理是指数保费原理或纯保费原理。
4. 满足平滑性的零效用保费原理是指数保费原理或纯保费原理。

这里我们给出命题 1 和命题 2 的证明。

命题 1 证明：

如果函数 \(v(\cdot)\) 是一个单调增且凸的函数，则由方程

\[\Pi[X]=v^{-1}(\mathbb{E}[v(X)]) \]

所决定的保费计算原理称为平均值保费原理。

记 \(\mathcal{F}\) 是一个由单调增且凸的函数构成的集合，即

\[\mathcal{F}=\left\{v|v'>0,\ v''\geq0\right\}. \]

满足相容性的平均值保费原理的意义是：对于某个 \(v \in\mathcal{F}\) ，对任意的风险 \(X\) 和常数 \(c\) ，

\[\begin{aligned} \Pi[X+c]&=v^{-1}\left(\mathbb{E}\left[v(X+c)\right]\right) \\ \\ &=v^{-1}\left(\mathbb{E}\left[v(X)\right]\right)+c \\ \\ &=\Pi[X]+c. \end{aligned} \]

记 \(\mathcal{F}_1\) 是函数集合，集合中的每个元素均是单调增且凸的函数，并且由这个函数决定的平均值保费原理满足相容性，即对任意的风险 \(X\) 和常数 \(c\) ，

\[\mathcal{F}_1=\left\{v\in\mathcal{F}|\ \forall X\ ({\rm r.v.}), \ v^{-1}\left(\mathbb{E}[v(X+c)]\right)=v^{-1}\left(\mathbb{E}[v(X)]\right)+c\right\}. \]

记 \(\mathcal{F}_2(S)\) 是函数集合，集合中的每个元素均是单调增且凸的函数，并且由这个函数决定的平均值保费原理，对某一特殊的风险 \(S\) 满足相容性，即

\[\mathcal{F}_2(S)=\left\{v\in\mathcal{F}|\ \exists S\ ({\rm r.v.}), \ v^{-1}\left(\mathbb{E}[v(S+c)]\right)=v^{-1}\left(\mathbb{E}[v(S)]\right)+c\right\}. \]

显然有 \(\mathcal{F}_1\subset \mathcal{F}_2(S)\subset\mathcal{F}\) 。

下面证明如果风险 \(S_q\sim B(1,q),\ q\geq0\) ，则 \(\mathcal{F}_2(S_q)\) 中只有两个函数，即指数函数或线性函数。

记 \(P(q)=\Pi[S_q]\) 为服从 \(B(1,q)\) 分布的风险 \(S_q\) 采用平均值保费原理计算的保费，该保费可以看成 \(q\) 的函数，且有 \(P(0)=0\) 。

由平均值保费的定义可得

\[v\left(\Pi[S_q]\right)=\mathbb{E}\left[v(S_q)\right], \]

从而

\[v(P(q))=qv(1)+(1-q)v(0). \tag{1} \]

对方程 \((1)\) 两边关于 \(q\) 求导得

\[P'(q)v'(P(q))=v(1)-v(0), \tag{2} \]

代入 \(q=0\) 得

\[P'(0)v'(0)=v(1)-v(0). \]

由函数 \(v(\cdot)\) 的性质可得 \(P'(0)>0\) 。

对方程 \((2)\) 两边关于 \(q\) 求导得

\[P''(q)v'(P(q))+\left[P'(q)\right]^2v''(P(q))=0, \]

代入 \(q=0\) 得

\[P''(0)v'(0)+\left[P'(0)\right]^2v''(0)=0. \]

由相容性可知，对于任意常数 \(x\) ，都有 \(\Pi[S_q+x]=\Pi[S_q]+x=P(q)+x\) ，从而

\[v(P(q)+x)=qv(1+x)+(1-q)v(x). \]

对这个方程两边求 \(q=0\) 处的二阶导数得

\[P''(0)v'(x)+\left[P'(0)\right]^2v''(x)=0. \]

注意到 \(P'(0)>0\) ，所以对任意的 \(x\) 都有

\[\frac{v''(x)}{v'(x)}=\frac{v''(0)}{v'(0)}. \]

由这个微分方程，结合 \(v''(x)\geq0\) 可以得出

• 当 \(v''(0)=0\) 时，\(v(x)\) 是线性函数；

• 当 \(v''(0)>0\) 时，\(v(x)\) 是指数函数。

由此可得 \(\mathcal{F}_2(S_q)\) 中只有两个函数，即线性函数或指数函数。由 \(\mathcal{F}_1\subset\mathcal{F}_2(S_q)\) 可得，\(\mathcal{F}_1\) 中至多只有两个函数，即线性函数或指数函数。

容易验证，由线性函数或指数函数 \(v(\cdot)\) 决定的纯保费原理和指数保费原理满足相容性，因此，线性函数或指数函数 \(v(\cdot)\) 是 \(\mathcal{F}_1\) 中的元素，因此命题 1 成立。

命题 2 证明：

记 \(\mathcal{F}_3\) 是函数集合，集合中的每个元素均是单调增且凸的函数，并且由这个函数决定的平均值保费原理满足相容性，即对任意的风险变量 \(X\) 和 \(Y\) ，有

\[\mathcal{F}_3=\left\{v\in\mathcal{F}|\forall X,Y\ ({\rm r.v.}),\ v^{-1}\left(\mathbb{E}[v(X+Y)]\right)=v^{-1}\left(\mathbb{E}[v(X)]\right)+v^{-1}\left(\mathbb{E}[v(Y)]\right)\right\}. \]

当 \(\mathrm{Pr}(Y=c)=1\) 时，有 \(\Pi[Y]=c\) ，可见当两个风险变量 \(X\) 和 \(Y\) 均服从退化分布时，相容性恰好是可加性，因此有 \(\mathcal{F}_3\subset\mathcal{F}_1\) 。

容易验证，由线性函数或指数函数 \(v(\cdot)\) 决定的纯保费原理和指数保费原理满足可加性，因此，线性函数或指数函数 \(v(\cdot)\) 是 \(\mathcal{F}_3\) 中的元素，因此命题 2 成立。

二、其他保费原理的刻画

连续保费和可混合保费的定义：

• 如果 \(F_n\to F\) 依分布收敛蕴含着 \(\Pi[F_n]\to\Pi[F]\) ，则称保费原理 \(\Pi[\cdot]\) 是连续的。
• 如果对分布函数 \(F\) 和 \(G\) 有 \(\Pi[tF+(1-t)G]=t\Pi[F]+(1-t)\Pi[G]\) ，并且对所有实数 \(c\) 和某个固定的常数 \(\lambda\) 有 \(\Pi[c]=(1+\lambda)c\) ，则称保费原理 \(\Pi[\cdot]\) 是可混合的。

连续保费和可混合保费的刻画：如果一个保费原理 \(\Pi[\cdot]\) 是连续的或可混合的，则保费原理 \(\Pi[\cdot]\) 一定是期望值保费原理，即 \(\Pi[X]=(1+\lambda)\mathbb{E}[X]\) 。

Esscher 保费原理的刻画：假设一个保险人具有风险厌恶系数为 \(\alpha\) 的指数效用函数，如果他收取的保费具有 \(\mathbb{E}[\varphi(X)X]\) 的形式，其中 \(\varphi(\cdot)\) 是一个连续单调增函数，满足 \(\mathbb{E}[\varphi(X)]=1\) ，则当 \(\varphi(x)\propto e^{\alpha x}\) 时，即当该保险人使用参数为 \(\alpha\) 的 Esscher 保费原理时，他的效用达到最大。

以上定理的证明过于复杂，不在本课程掌握范围内，故略去。

第四节 通过共保降低保费

设有 \(n\) 个相互合作的保险人，其中保险人 \(i\) 采用风险厌恶系数为 \(\alpha_i\) 的指数效用 \((i=1,2,\cdots,n)\) 。他们打算共同承担一个风险 \(S\) ，该风险在他们之间分摊，定义随机变量 \(S_1,S_2,\cdots,S_n\) ，使得

\[S\equiv S_1+S_2+\cdots+S_n, \]

其中 \(S_i\) 表示保险人 \(i\) 所面临的风险 \((i=1,2,\cdots,n)\) ，所需要的总保费是

\[P=\sum_{i=1}^n\frac{1}{\alpha_i}\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha_iS_i}\right] . \]

由此可知，总保费 \(P\) 依赖于 \(S_i\) 的选择。

问题：保险人应该如何分摊风险 \(S\) ，以使得联营共保后尽可能具有竞争力，即使得总保费 \(P\) 最低。

定理：保险人 \(i\) 的最优选择 \(\tilde{S}_i\) 应该为总风险 \(S\) 的一个固定部分，具体可以写为

\[\tilde{S}_i=\frac{\alpha}{\alpha_i}S ,\quad \text{where }\ \frac1\alpha=\sum_{i=1}^n\frac1{\alpha_i}. \]

即最优的分配方案是让每个保险人承担联营风险的其中一部分比例，这个比例与该保险人的风险厌恶系数的倒数（称为风险容忍度）成正比。

相应的最低总保费为

\[\tilde{P}=\sum_{i=1}^n\frac1{\alpha_i}\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha_i\tilde{S}_i}\right]=\frac1\alpha\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha S}\right]. \]

这表明 \(n\) 个保险人的联营就像一个保险人一样，其保费由具有风险厌恶系数 \(\alpha\) 的指数保费原理给出。

设 \(P\) 为对应于任意一个合适的分割 \(S_1+S_2+\cdots+S_n=S\) 的总保费，即证 \(\tilde{P}\leq P\) 。只需证

\[\sum_{i=1}^n\frac1{\alpha_i}\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha_i\tilde{S}_i}\right]\leq \sum_{i=1}^n\frac{1}{\alpha_i}\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha_iS_i}\right] \]

左边取 \(e\) 指数得

\[\exp\left\{\sum_{i=1}^n\frac1{\alpha_i}\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha_i\tilde{S}_i}\right]\right\}=\exp\left\{\frac1\alpha\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha S}\right]\right\}=\left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha S}\right]\right]^{1/\alpha}. \]

右边取 \(e\) 指数得

\[\exp\left\{\sum_{i=1}^n\frac{1}{\alpha_i}\ln\mathbb{E}\left[e^{\alpha_iS_i}\right]\right\}=\prod_{i=1}^n\left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha_iS_i}\right]\right]^{1/\alpha_i}. \]

故只需证

\[\begin{aligned} & \left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha S}\right]\right]^{1/\alpha}\leq\prod_{i=1}^n\left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha_iS_i}\right]\right]^{1/\alpha_i} \\ \\ \iff\quad& \mathbb{E}\left[e^{\alpha S}\right]\leq\prod_{i=1}^n\left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha_iS_i}\right]\right]^{\alpha/\alpha_i} \\ \\ \iff\quad& \mathbb{E}\left[\prod_{i=1}^ne^{\alpha S_i}\right]\leq\prod_{i=1}^n\left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha_iS_i}\right]\right]^{\alpha/\alpha_i} \\ \\ \iff\quad&\mathbb{E}\left[\prod_{i=1}^n\frac{e^{\alpha S_i}}{\left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha_iS_i}\right]\right]^{\alpha/{\alpha_i}}}\right]=\mathbb{E}\left[\prod_{i=1}^n\left(\frac{e^{\alpha_i S_i}}{\left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha_iS_i}\right]\right]}\right)^{\alpha/{\alpha_i}}\right]\leq1 \\ \\ \iff\quad& \mathbb{E}\left[\exp\left\{\sum_{i=1}^n\frac{\alpha}{\alpha_i}T_i\right\}\right]\leq 1 , \quad \text{where }\ T_i=\ln\frac{e^{\alpha_iS_i}}{\mathbb{E}\left[e^{\alpha_iS_i}\right]} . \end{aligned} \]

注意到 \(\mathbb{E}\left[\exp\{T_i\}\right]=1\) ，由于 \(e^x\) 是一个凸函数，故由 Jensen 不等式可得

\[\mathbb{E}\left[\exp\left\{\sum_{i=1}^n\frac{\alpha}{\alpha_i}T_i\right\}\right]\leq \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n\frac{\alpha}{\alpha_i}e^{T_i}\right]=\sum_{i=1}^n\frac{\alpha}{\alpha_i}\mathbb{E}\left[e^{T_i}\right]=1. \]

定理证毕。

第五节 案例

设 \(X\) 是服从泊松分布 \(P(\lambda)\) 的随机变量，求 \(X\) 在参数 \(h\) 下的 Esscher 变换。

由 \(X\sim P(\lambda)\) 可知

\[m_X(t)=\exp\left\{\lambda(e^{t}-1)\right\}, \]

设随机变量 \(Y\) 是 \(X\) 在参数 \(h\) 下的 Esscher 变换，则

\[m_Y(t)=\frac{m_X(t+h)}{m_X(h)}=\frac{\exp\left\{\lambda(e^{t+h}-1)\right\}}{\exp\left\{\lambda(e^{h}-1)\right\}}=\exp\left\{\lambda e^h\left(e^{t}-1\right)\right\}. \]

所以 \(Y\sim P(\lambda e^h)\) 。

设随机变量 \(X\sim\Gamma(2,0.01)\) ，若已知 \(\Pi[X]=250\) ，且 \(\Pi[X]\) 是根据参数为 \(h\) 的 Esscher 保费原理计算的，求 \(h\) 的值。

由 \(X\sim\Gamma(2,0.01)\) 可知

\[m_X(t)=\left(\frac{0.01}{0.01-t}\right)^2. \]

设随机变量 \(Y\) 是 \(X\) 在参数 \(h\) 下的 Esscher 变换，则

\[m_Y(t)=\frac{m_X(t+h)}{m_X(h)}=\left(\frac{0.01-h}{0.01-h-t}\right)^2. \]

所以 \(Y\sim\Gamma(2,0.01-h)\) 。又因为

\[\Pi[X]=\mathbb{E}(Y)=\frac{2}{0.01-h},\quad \Pi[X]=250, \]

所以 \(h=0.002\) 。

利用风险厌恶系数为 \(\alpha\) 的指数保费原理计算风险变量 \(X\) 的保费，记为 \(\Pi[X]\) 。

(1) 证明：

\[\lim_{\alpha\to0^+}\Pi'[X]=\lim_{\alpha\to0^+}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Pi[X]=\frac12{\rm Var}(X). \]

(2) 证明：

\[\left(\alpha^2\Pi'[X]\right)'>0, \]

并由此推断保费 \(\Pi[X]\) 为风险厌恶系数 \(\alpha\) 的单调增函数。

(1) 首先计算指数保费关于 \(\alpha\) 的导数：

\[\begin{aligned} &\Pi[X]=\frac1\alpha\ln m_X(\alpha), \\ \\ &\Pi'[X]=\frac{1}{\alpha^2}\left(\alpha\frac{m'_X(\alpha)}{m_X(\alpha)}-\ln m_X(\alpha)\right). \end{aligned} \]

由洛必达法则可得

\[\begin{aligned} \lim_{\alpha\to0^+}\Pi'[X]&=\lim_{\alpha\to0^+}\frac{1}{\alpha^2}\left(\alpha\frac{m'_X(\alpha)}{m_X(\alpha)}-\ln m_X(\alpha)\right) \\ \\ &=\lim_{\alpha\to0^+}\frac{1}{2\alpha}\left[\frac{m'_X(\alpha)}{m_X(\alpha)}+\alpha\frac{m''_X(\alpha)m_X(\alpha)-\left[m'_X(\alpha)\right]^2}{\left[m_X(\alpha)\right]^2}-\frac{m'_X(\alpha)}{m_X(\alpha)}\right] \\ \\ &=\lim_{\alpha\to0^+}\frac12\frac{m''_X(\alpha)m_X(\alpha)-\left[m'_X(\alpha)\right]^2}{\left[m_X(\alpha)\right]^2} \\ \\ &=\frac12\frac{m''_X(0)m_X(0)-\left[m'_X(0)\right]^2}{\left[m_X(0)\right]^2} \\ \\ &=\frac12\left[\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2\right]=\frac12{\rm Var}(X). \end{aligned} \]

(2) 由 (1) 可得

\[\alpha^2\Pi'[X]=\alpha\frac{m'_X(\alpha)}{m_X(\alpha)}-\ln m_X(\alpha). \]

所以

\[\begin{aligned} \left(\alpha^2\Pi'[X]\right)'&=\left(\alpha\frac{m'_X(\alpha)}{m_X(\alpha)}-\ln m_X(\alpha)\right)' \\ \\ &=\frac{m'_X(\alpha)}{m_X(\alpha)}+\alpha\frac{m''_X(\alpha)m_X(\alpha)-\left[m'_X(\alpha)\right]^2}{\left[m_X(\alpha)\right]^2}-\frac{m'_X(\alpha)}{m_X(\alpha)} \\ \\ &=\alpha\left[\frac{m_X''(\alpha)}{m_X(\alpha)}-\left(\frac{m_X'(\alpha)}{m_X(\alpha)}\right)^2\right]. \end{aligned} \]

由 Esscher 变换的理论可知，如果一个随机变量 \(Y\) 的分布函数为随机变量 \(X\) 的分布函数以 \(h>0\) 为参数的 Esscher 变换，则有

\[m_Y(t)=\frac{m_X(t+h)}{m_X(h)} \quad \Longrightarrow \quad \mathbb{E}(Y^r)=\frac{m_X^{(r)}(h)}{m_X(h)}. \]

因此，如果设随机变量 \(Z\) 的分布函数为随机变量 \(X\) 的分布函数以 \(\alpha >0\) 为参数的 Esscher 变换，则

\[\frac{m_X''(\alpha)}{m_X(\alpha)}-\left(\frac{m_X'(\alpha)}{m_X(\alpha)}\right)^2={\rm Var}(Z)\geq0. \]

因此，

\[\left(\alpha^2\Pi'[X]\right)'>0. \]

由此可知，如果 \(h(\alpha)=\alpha^2\Pi'[X]\) ，则 \(h(\alpha)\) 是关于 \(\alpha\) 的单调增函数。又因为

\[\lim_{\alpha\to0^+}h(\alpha)=0. \]

所以当 \(\alpha>0\) 时，\(h(\alpha)>0\) ，所以当 \(\alpha>0\) 时，\(\Pi'[X]>0\) ，即 \(\Pi[X]\) 为 \(\alpha\) 的单调增函数。