现代精算风险理论04：期望效用原理

目录

• 第四讲 期望效用原理
  • 第一节 效用函数与风险态度
  • 第二节 期望效用模型
    • 一、期望效用模型
    • 二、保险合同与保险定价
  • 第三节 保费计算问题
    • 一、保费计算
    • 二、最优保险问题
    • 三、Allais 悖论

第四讲 期望效用原理

第一节 效用函数与风险态度

效用：用来衡量个人对商品和财富的满足程度的一种度量。

效用的数学意义：如果用 \(x\) 来代表某件商品或一定数额的货币，这件商品或这些货币对某个人产生的满足程度或这个人的主观价值就称为 \(x\) 的效用，记为 \(u(x)\) ，称为效用函数。

效用原理：经济理论表明，商品或财富的效用随着其绝对数量的增加而增加，但增加的速率逐渐递减。

• 随着商品或财富数额的不断增加，效用增加，即一般效用函数 \(u(x)\) 是一个增函数，\(u'(x)>0\) 。
• 随着商品或财富数额的不断增加，效用虽然在增加，但增加的速度却不断下降，即 \(u''(x)<0\) 。
• 若一个人面临从给定的行动集中做选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能结果的偏好的期望值最高的行动。

目前常用的效用函数族有以下几类：

1. 线性效用函数：\(u(x)=w\) ；
2. 平方效用函数：\(u(x)=-(\alpha-x)^2, \ 0<x\leq\alpha\) ；
3. 对数效用函数：\(u(x)=\ln(\alpha+x), \ x>-\alpha\) ；
4. 指数效用函数：\(u(x)=-\alpha e^{-\alpha x}, \ \alpha>0\) ；
5. 幂效用函数：\(u(x)=x^c, \ x>0,\ 0<c\leq 1\) ；

这些效用函数的特点：单调增函数 \(u'(x)>0\) ，凹函数 \(u''(x)<0\) 。

决策者的风险态度根据效用函数的性质被分为三种类型：

• 风险偏好：效用函数为下凸函数（凸函数）；
• 风险厌恶：效用函数为上凸函数（凹函数）；
• 风险中立：效用函数为线性函数。

在实际中，一个人的风险态度并不可能在任何情况下都保持同一类型。对于不同的风险，会有不同的风险态度。

风险厌恶系数：假设效用函数为 \(u(\cdot)\) ，定义决策者拥有财富为 \(w\) 时的风险厌恶系数为

\[r(w)=-\frac{u''(w)}{u'(w)}, \]

风险厌恶系数反映了决策者对风险的厌恶程度，对风险越厌恶，则愿意支付的保费越多。

• 线性效用函数的风险厌恶系数为 \(0\) ；
• 指数效用函数的风险厌恶系数为 \(\alpha\) ；
• 对数效用函数的风险厌恶系数为 \((\alpha+x)^{-1}\) 。

效用函数的风险厌恶系数都可以表示为 \((\gamma+\beta x)^{-1}\) ，其中 \(\gamma\) 和 \(\beta\) 为参数。

第二节 期望效用模型

一、期望效用模型

保险业和保险定价：

• 保险业可以看成是经营风险的行业。保险定价是保险实务和理论研究的核心问题之一，而保险定价的实质就是对风险进行定价。
• 效用理论可以用来描述和度量理性投保人风险偏好，是保险定价的基础。
• 保险业之所以存在，是因为人们愿意以高于他们期望索赔额的价格获得保险保障，因此，保险公司收取高于期望理赔额的保费。

期望效用原理：

• 假设决策者使用效用函数 \(u(w)\) 去衡量其财富，而不是用财富 \(w\) 本身去衡量。

• 如果决策者必须在随机损失 \(X\) 和 \(Y\) 之间选择，则需比较 \(\mathbb{E}[u(w-X)]\) 和 \(\mathbb{E}[u(w-Y)]\) 的大小后做出决定。

• 决策者会选择期望效用较大的损失，即如果

  \[\mathbb{E}[u(w-X)]\geq \mathbb{E}[u(w-Y)], \]

  则决策者会选择损失 \(X\) 。

被保险人利用期望效用原理决定愿意支付的保费：

• 假设被保险人拥有财富 \(w\) ，面临随机损失 \(X\) ，使用效用函数 \(u(\cdot)\) 衡量财富。

• 希望采用保险的方式应付风险，决定为风险 \(X\) 支付的保费为 \(P\) 。

• 由期望效用原理可知，应该满足

  \[\mathbb{E}[u(w-X)]\leq u(w-P). \]

• 被保险人愿意支付的最大保费 \(P^+\) 由均衡方程决定：

  \[\mathbb{E}[u(w-X)]= u(w-P^+). \]

保险人利用期望效用原理决定保单保费：

• 假设保险人拥有财富 \(W\) ，使用效用函数 \(U(\cdot)\) 衡量财富。

• 对于风险 \(X\) ，被保险人出保费 \(P\) ，保险人才会承接。

• 由期望效用原理可知，应该满足

  \[U(W)\leq \mathbb{E}\left[U(W+P-X)\right]. \]

• 保险人愿意承接风险的最小保费 \(P^-\) 由均衡方程决定：

  \[U(W)= \mathbb{E}\left[U(W+P^--X)\right]. \]

二、保险合同与保险定价

保险合同的制定和签订的过程：

• 由保险公司根据公司的情况，即采用相应的效用函数，制定出一个最小保费 \(P^-\) ，并由此构成一个保险合同；
• 由保险公司的销售人员将保险合同销售出去，即找有需要保险的人。
• 需要被保险人的特征：在被保险人的效用函数下，若被保险人愿意支付的最大保费 \(P^+\) 超过保险公司的最小保费，即 \(P^+\geq P^-\) ，则保险合同可以达成。
• 在此过程中还需要对被保险人的宣传环节，以提高被保险人的保险意识，即修改被保险人原有的效用函数。

在利用期望效用原理决定保费时，应注意以下几个问题：

1. 在保险定价中，一般由保险人确定价格，即利用期望效用原理 \(U(W)= \mathbb{E}\left[U(W+P^--X)\right]\) 确定最小保费 \(P^-\) 。
2. 在实际价格确定过程中，期望效用原理仅考虑了保险公司的经营决策和决策人的风险态度，除此之外，还依赖于很多其他因素，如税收政策、市场竞争等等。因此，最后确定的价格为 \(P\not\equiv P^-\) 。
3. 每个被保险人的效用函数不尽相同，所以每个被保险人给出的 \(P^+\) 不相同。只有 \(P^+\geq P^-\) 的被保险人才有可能购买保险。
4. 被保险人对风险的态度不是永恒不变的，会因为他的财富、社会地位、环境的变化而变化。短时间内对某个人进行风险教育时也能改变一个人对风险的态度。
5. 有时候人们对风险的态度主要依赖于风险的大小。
6. 有时候人们对风险的态度还依赖于拥有的财富多少。
7. 对某个人来说，他的效用函数既不是凸函数也不是凹函数.但仅考虑较大的风险，对被保人来说是风险的厌恶者，即理性行为公理。
8. 保险业可以存在的原因：对于较大的风险，被保险人是风险厌恶者，即采用凹函数 \(u(x)\) 作为效用函数。因此 \(P^+\geq\mathbb{E}(X)\) 。

证明若采用凹函数 \(u(x)\) 作为效用函数，则 \(P^+\geq\mathbb{E}(X)\) 。

由效用函数 \(u(x)\) 的凹性可知

\[\mathbb{E}[u(w-X)]\leq u(\mathbb{E}(w-X))=u(w-\mathbb{E}(X)). \]

根据期望效用原理，对于被保险人来说，当面临风险 \(X\) 时，愿意支付的保费 \(P^+\) 满足

\[\mathbb{E}[u(w-X)]= u(w-P^+). \]

结合以上两式，则有

\[u(w-P^+)\leq u(w-\mathbb{E}(X)). \]

由效用函数 \(u(x)\) 的单调递增性可知

\[w-P^+\leq w-\mathbb{E}(X), \\ \\ P^+\geq \mathbb{E}(X). \]

第三节 保费计算问题

一、保费计算

例如：设某人财产在未来一个时期内不会遭到损失的概率为 \(0.75\) ，遭到损失 \(X\) 的概率密度为

\[f(x)=0.01 e^{-0.01x}, \quad x>0. \]

再设决策者的效用函数为 \(u(x)=-e^{-0.005x}\) 。

(1) 计算该决策者为得到全额保险而愿意支付的最大保费。

(2) 若保单规定保险公司只赔偿实际损失的 \(50\%\) ，计算决策者愿意支付的最大保费。

设决策者当前的财产为 \(w\) 。

(1) 由期望效用原理可知

\[\begin{aligned} u(w-P^+)&=\mathbb{E}[u(w-X)] \\ \\ &=0.75u(w-0)+0.25\int_0^\infty u(w-x)f(x)\mathrm{d}x. \end{aligned} \]

代入效用函数和密度函数可得

\[-e^{-0.005(w-P^+)}=-0.75e^{-0.005w}-0.25\int_0^\infty-e^{-0.005(w-x)}0.01e^{-0.01x}\mathrm{d}x. \]

整理后可得

\[e^{0.005P^+}=0.75+0.25\times2=1.25. \]

解得该决策者愿意支付的最大保费 \(P^+=200\ln(1.25)\) 。

(2) 设决策者愿意支付的最大保费为 \(P^*\) ，考虑购买保险和不购买保险两种情况：

若购买保险，决策者的财产的期望效用为

\[\begin{aligned} \mathbb{E}[u(w-P^*-X/2)]&=0.75u(w-P^*)+0.25\int_0^\infty u(w-P^*-x/2)f(x)\mathrm{d}x \\ \\ &=-\frac{13}{12}e^{-0.005(w-P^*)}. \end{aligned} \]

若不购买保险，决策者的财产的期望效用为

\[\begin{aligned} \mathbb{E}[u(w-X)]&=0.75u(w)+0.25\int_0^\infty u(w-x)f(x)\mathrm{d}x \\ \\ &=-\frac54e^{-0.005w}. \end{aligned} \]

由期望效用原理，决策者愿意支付的最大保费应满足两者相等，即

\[-\frac{13}{12}e^{-0.005(w-P^*)}=-\frac54e^{-0.005w}. \]

解得决策者愿意支付的最大保费为 \(P^*=200\ln(15/13)\) 。

例如：假设一保险人使用参数为 \(\alpha\) 的指数效用函数，计算保险人愿意承接风险 \(X\) 的最小保费。

注：采用指数效用计算得出的保费被称为指数保费。

设保险人的财富为 \(W\) ，效用函数为 \(U(x)=-\alpha e^{-\alpha x}\) ，根据期望效用原理

\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[U(W+P^--X)\right]&=U(W), \\ \\ \mathbb{E}\left[-\alpha e^{-(W+P^--X)}\right]&=-\alpha e^{-\alpha W}, \\ \\ P^-=\frac1\alpha\ln\left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}\right]\right]. \end{aligned} \]

例如：假设被保险人采用平方效用函数 \(u(x)=10x-x^2 \ (w<5)\) 。要承保损失为 \(1\) 发生概率为 \(0.5\) 的风险，计算被保险人愿意支付的最大保费。

设被保险人的财富为 \(w\in[0.5]\) 。

由期望效用原理可知

\[u(w-P^+)=\mathbb{E}[u(w-X)]. \]

代入效用函数可得

\[10(w-P^+)-(w-P^+)^2=\frac12(10w-w^2)+\frac12(10(w-1)-(w-1)^2), \]

解得

\[P^+=\sqrt{\left(\frac{11}2-w\right)^2+\frac14}-(5-w),\quad 0\leq w\leq 5. \]

注意：

• 如果将被保险人愿意支付的最大保费看成被保险人的财富的函数 \(P^+(w)\) ，则有 \({P^+}'(w)>0\) 。因此，被保险人的财富增加时，愿意支付的保费也随之增加。
• 用二次效用函数去模拟风险厌恶型决策者的行为，并不太合适。
• 优点：只要知道风险的期望和方差，即可计算由二次效用函数计算得出的保费。

均值方差保费：设风险 \(X\) 的期望和方差分别为 \(\mathbb{E}(X)=\mu,\ {\rm Var}(X)=\sigma^2\) ，设被保险人的财富为 \(w\) ，效用函数为 \(u(x)\) ，计算其针对风险 \(X\) 愿意支付的最大保费的近似解。

利用 \(u(\cdot)\) 在点 \(w-\mu\) 处泰勒展开的前几项，有

\[\begin{aligned} &u(w-P^+)\approx u(w-\mu)+(\mu-P^+)u'(w-\mu); \\ \\ &u(w-X)\approx u(w-\mu)+(\mu-X)u'(w-\mu)+\frac12(\mu-X)^2u''(w-\mu); \end{aligned} \]

两边求期望可得

\[\begin{aligned} \mathbb{E}[u(w-X)]&\approx u(w-\mu)+\mathbb{E}[\mu-X]u'(w-\mu)+\frac12\mathbb{E}[(\mu-X)^2]u''(w-\mu) \\ \\ &=u(w-\mu)+\frac12\sigma^2u''(w-\mu). \end{aligned} \]

利用期望效用原理 \(u(w-P^+)=\mathbb{E}[u(w-X)]\) 可得

\[(\mu-P^+)u'(w-\mu)=\frac12\sigma^2u''(w-\mu), \]

解得被保险人愿意支付的最大保费的近似解为

\[P^+\approx\mu+\frac12r(w-\mu)\sigma^2, \]

其中 \(r(\cdot)\) 为风险厌恶系数

\[r(w)=-\frac{u''(w)}{u'(w)}. \]

这里的最大保费 \(P^+\) 的近似解仅依赖于风险的均值和方差，被称为均值方差保费。

不可保风险：假设决策者使用风险厌恶系数为 \(\alpha>0\) 的指数效用函数，风险 \(X\sim\Gamma(n,1)\) ，则有

\[P^+=\frac1\alpha\ln(m_X(\alpha))=\left\{\begin{array}{ll} -\dfrac n\alpha\ln(1-\alpha), & 0<\alpha<1, \\ \\ \infty, & \alpha\geq1. \end{array}\right. \]

若 \(\alpha\geq1\) ，则 \(P^+=\infty\) ，表示决策者愿意支付任何有限保费，这样的风险对保险人来说是不可保的。

注意：矩母函数不存在，说明风险尾部较重，对被保险人来说，面临这样的风险就会有产生巨大损失的可能性。

二、最优保险问题

在保险实务中，为了防止投保人进行自我防灾防损意识以减少不必要的损失，通常不是全额承保。因此，保险合同规定的理赔通常都低于实际损失。

假设损失是 \(X\) ，理赔额视损失而定，是损失的函数，记作 \(I(X)\) ，满足 \(0< I(X) < X\) 。在某些准则下，给出最优的保险形式 \(I(X)\) 即为最优保险问题。

期望效用理论告诉我们，在考虑最优的保险形式时，主要需要考虑两点：

• 考虑潜在损失或理赔的分布形式；
• 考虑决策者的风险态度等；

在综合这两个因素的基础上才能作出合理的决策。

定理（停止损失保险的最优性）：给出如下的假设：

1. 某人拥有价值为 \(w\) 的财产，并面临某种潜在损失 \(X\) ；
2. 这位财产拥有人是风险厌恶者，其效用函数为 \(U(x)\) ，即 \(U'(x)>0,\ U''(x)<0\) ；
3. 保单的保费采用均值原理计算，即如果保险形式为 \(I(X)\) ，则支付的保费为 \((1+\lambda)\mathbb{E}[I(X)]\) ，其中 \(\lambda\) 被称为安全负荷系数。
4. 财产拥有者愿意付出的保费为 \(P\) ，

则最优的保险形式为停止损失保险，即

\[I_{d^*}(X)=[X-d^*]_+, \]

其免赔额为 \(d^*\) ，由均衡方程决定：

\[(1+\lambda)\mathbb{E}[X-d^*]_+=P. \]

分析：考虑以下两种赔付形式：

• 若赔付为 \(I(X)\) ，则投保后财产拥有人的效用为 \(U(w-P-(X-I(X)))\) 。
• 若赔付为 \(I_{d}(X)\) ，则投保后财产拥有人的效用为 \(U(w-P-(X-I_d(X)))\) 。

因此，要证明对于任意的保险形式 \(I(X)\) ，有

\[\mathbb{E}\left[U(w-P-(X-I_d(X)))\right]\geq\mathbb{E}\left[U(w-P-(X-I(X)))\right]. \]

证明：由效用函数的性质可知，对于任意的 \(a,b\) ，有

\[U(a)\leq U'(b)(a-b)+U(b). \]

记 \(a=w-P-(X-I(X)),\ b=w-P-(X-I_d(X))\) ，有

\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\left[U(w-P-(X-I(X)))\right] \\ \\ \leq\;&\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))\right]+\mathbb{E}\left[U(w-P-(X-I_d(X)))\right] . \end{aligned} \]

故只需证

\[\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))\right]\leq0. \]

由假设 \(U''(x)<0\) 可知，\(U'(x)\) 为单调下降的函数。

考虑 \(X\leq d\) 的情况：

\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))I_{\{X\leq d\}}\right] \\ \\ =\;&\mathbb{E}\left[U'(w-P-X)I(X)I_{\{X\leq d\}}\right] \\ \\ \leq\;&\mathbb{E}\left[U'(w-P-d)I(X)I_{\{X\leq d\}}\right] \\ \\ =\;&U'(w-P-d)\mathbb{E}\left[(I(X)-I_d(X))I_{\{X\leq d\}}\right]. \end{aligned} \]

考虑 \(X>d\) 的情况：

\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))I_{\{X>d\}}\right] \\ \\ =\;&\mathbb{E}\left[U'(w-P-d)(I(X)-I_d(X))I_{\{X>d\}}\right] \\ \\ =\;&U'(w-P-d)\mathbb{E}\left[(I(X)-I_d(X))I_{\{X>d\}}\right]. \end{aligned} \]

所以

\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))\right] \\ \\ \leq\;&U'(w-P-d)\mathbb{E}\left[(I(X)-I_d(X))I_{\{X\leq d\}}+(I(X)-I_d(X))I_{\{X>d\}}\right] \\ \\ =\;&U'(w-P-d)\left[\mathbb{E}[I(X)]-\mathbb{E}[I_d(X)]\right]. \end{aligned} \]

对于任意的 \(I(X)\) ，根据假设有 \(\mathbb{E}[I(X)]=\mathbb{E}[I_d(X)]\) ，即有

\[\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))\right]\leq0. \]

定理得证。

由于财产拥有人愿意支付的保费为 \(P\) ，故 \(d^*\) 由如下均衡方程决定：

\[\mathbb{E}[I_{d^*}(X)]=(1+\lambda)\mathbb{E}[X-d^*]_+=P. \]

例如：设决策者拥有 \(10,000\) 万元的财产，现面临潜在损失 \(X\) ，损失在 \([0,1000]\) 上均匀分布。假设决策者的效用函数为 \(u(x)=\sqrt{x}\) ，假设保费的计算采用均值计算，若决策者愿意支付的保费为 \(200\) 万元，计算什么样的保险形式能达到效用极大。

经检验，该问题满足定理条件，故停止损失保险形式 \([X-d^*]_+\) 达到最优，并且 \(d^*\) 满足

\[200=\int_d^{1000}(x-d)\frac1{1000}{\rm d}x=\frac{1}{2000}(1000-d)^2, \]

解得 \(d^*=367.54\) 万元。

三、Allais 悖论

Allais 悖论是决策论中的一个悖论。设计这个悖论可以用来证明期望效用理论和理性选择公理本身存在逻辑不一致的问题。

考虑如下可能的资本收益：

\[\begin{aligned} &\begin{array}{cl} X: & \mathrm{Pr}(X=1,000,000)=1; \\ \\ Y: & \left\{\begin{aligned} &\mathrm{Pr}(Y=5,000,000)=0.10, \\ \\ &\mathrm{Pr}(Y=1,000,000)=0.89, \\ \\ &\mathrm{Pr}(Y=0)=0.01; \end{aligned}\right. \end{array} \\ \\ &\begin{array}{cl} V: & \left\{\begin{aligned} &\mathrm{Pr}(V=1,000,000)=0.11, \\ \\ &\mathrm{Pr}(V=0)=0.89; \end{aligned}\right. \\ \\ W: & \left\{\begin{aligned} &\mathrm{Pr}(W=5,000,000)=0.10, \\ \\ &\mathrm{Pr}(W=0)=0.90. \end{aligned}\right. \end{array} \end{aligned} \]

考虑风险 \(X\) 和 \(Y\) 之间的选择，以及风险 \(V\) 和 \(W\) 之间的选择。

按照期望效用理论，风险厌恶者应该选择 \(X\) 和 \(V\) ，风险偏好者应该选择 \(V\) 和 \(W\) ，但实验中的大多数人选择了 \(X\) 和 \(W\) 。

在 \(X\) 和 \(Y\) 之间，很多人会选择 \(X\) ，假设初始财富为 \(0\) ，\(\mathbb{E}[u(X)]>\mathbb{E}[u(Y)]\) 等价于

\[u(1,000,000)>0.10u(5,000,000)+0.89u(1,000,000)+0.01u(0), \]

化简之后即得

\[0.11u(1,000,000)>0.10u(5,000,000)+0.01u(0). \]

在 \(V\) 和 \(W\) 之间，很多人会选择 \(W\) ，假设初始财富为 \(0\) ，\(\mathbb{E}[u(W)]>\mathbb{E}[u(V)]\) 等价于

\[0.11u(1,000,000)+0.89u(0)<0.10u(5,000,000)+0.90u(0), \]

化简之后即得

\[0.11u(1,000,000)<0.10u(5,000,000)+0.01u(0). \]

这两个不等式是矛盾的！

上面的例子其实也不能完全说明问题，因为效用函数是相对风险而言的。对于不同的风险，即使是同一个人也会有不同的效用函数。因此，对于风险 \(X\) 和风险 \(Y\) 的效用函数是不同的。

可以肯定的是，期望效用并不总是能充分地描述决策者的行为。由上面的例子可以判断，完全没有风险的状态与期望效用指标相比，对决策者似乎更具有吸引力。这种吸引力诱导人们作出非理性的决定。