现代概率论02：可测空间和可测映射(2)

目录

• 第二讲 可测空间和可测映射(2)
  • 1.4 可测映射和可测函数
    • 1.4.1 映射和函数
    • 1.4.2 可测映射
    • 1.4.3 可测函数
    • 1.4.4 可测函数的例子
  • 1.5 可测函数的运算
    • 1.5.1 四则运算和极限运算
    • 1.5.2 可测函数的结构
    • 1.5.3 复合可测函数的性质
    • 1.5.4 两个函数类：单调类和 \(\lambda\) 类

第二讲 可测空间和可测映射(2)

1.4 可测映射和可测函数

1.4.1 映射和函数

映射和函数的基本概念：设 \(X\) 和 \(Y\) 是任意给定的集合。

• 映射/函数：如果对 \(\forall x\in X\) ，存在唯一的 \(f(x)\in Y\) 与之对应，则称 \(f\) 为从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射或定义在 \(X\) 上取值于 \(Y\) 的函数，常记为 \(f(\cdot)=\{f(x):x\in X\}\) 。
• 集合的原像：对任何 \(B\subset Y\) ，称 \(f^{-1}B=\{f\in B\}=\{x:f(x)\in B\}\) 为集合 \(B\) 在映射 \(f\) 下的原像。
• 集合系的原像：对任何 \(Y\) 上的集合系 \(\mathcal{E}\) ，称 \(f^{-1}\mathcal{E}=\{f^{-1}B:B\in\mathcal{E}\}\) 为集合系 \(\mathcal{E}\) 在映射 \(f\) 下的原像。

关于映射的原像，有以下两个命题。注意：以下假设 \(f\) 是满射，即 \(f(\cdot)=Y\) 。

命题 1.4.1：集合的原像有如下性质，其中 \(T\) 是任意的指标集：

\[\begin{array}{ll} (1) & f^{-1}\varnothing=\varnothing;\quad f^{-1}Y=X; \\ \\ (2) & B_1\subset B_2 \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}B_1\subset f^{-1}B_2; \\ \\ (3) & (f^{-1}B)^c=f^{-1}B^c,\quad \forall B\subset Y; \\ \\ (4) & \displaystyle f^{-1}\bigcup_{t\in T}A_t=\bigcup_{t\in T}f^{-1}A_t , \quad \forall \{A_t\subset Y,\ t\in T\}; \\ \\ & \displaystyle f^{-1}\bigcap_{t\in T}A_t=\bigcap_{t\in T}f^{-1}A_t , \quad \forall \{A_t\subset Y,\ t\in T\}. \end{array} \]

命题 1.4.2：对 \(Y\) 上的任何集合系 \(\mathcal{E}\) ，有

\[\sigma(f^{-1}\mathcal{E})=f^{-1}\sigma(\mathcal{E}). \]

先验证 \(f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) 是 \(\sigma\) 域。

(1) 由于 \(Y\in\sigma(\mathcal{E})\) ，所以 \(X=f^{-1}Y\in f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) 。

(2) 若 \(A\in f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) ，则 \(\exists B\in\sigma(\mathcal{E})\) ，使得 \(A=f^{-1}B\) ，所以

\[A^c=(f^{-1}B)^c=f^{-1}B^c\in f^{-1}\sigma(\mathcal{E}). \]

(3) 若 \(A_n\in f^{-1}\sigma(\mathcal{E}),\ n\geq1\) ，则 \(\exists B_n\in\sigma(\mathcal{E})\) ，使得 \(A_n=f^{-1}B_n,\ n\geq1\) ，所以

\[\bigcup_{n=1}^\infty A_n=\bigcup_{n=1}^\infty f^{-1}B_n=f^{-1}\bigcup_{n=1}^\infty B_n\in f^{-1}\sigma(\mathcal{E}). \]

所以 \(f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) 是 \(\sigma\) 域。

显然 \(f^{-1}\mathcal{E}\subset f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) ，所以 \(\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\subset f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) 。下证 \(f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset \sigma(f^{-1}\mathcal{E})\) 。

令 \(\mathcal{G}=\{B\subset Y:f^{-1}B\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\}\) ，下面验证 \(\mathcal{G}\) 为 \(\sigma\) 域。

(1) 由于 \(Y\subset Y\) 且 \(f^{-1}Y=X\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\) ，所以 \(Y\in\mathcal{G}\) 。

(2) 若 \(B\in\mathcal{G}\) ，则 \(B\subset Y,\ f^{-1}B\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\) ，所以

\[B^c\subset Y,\quad f^{-1}B^c=(f^{-1}B)^c\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E}), \]

所以 \(B^c\in\mathcal{G}\) 。

(3) 若 \(B_n\in\mathcal{G},\ n\geq1\) ，则 \(B_n\subset Y,\ f^{-1}B_n\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E}),\ n\geq1\) ，所以

\[\bigcup_{n=1}^\infty B_n\subset Y,\quad f^{-1}\bigcup_{n=1}^\infty B_n=\bigcup_{n=1}^\infty f^{-1}B_n\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E}). \]

所以 \(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\in\mathcal{G}\) 。

所以 \(\mathcal{G}\) 为 \(\sigma\) 域。

又对 \(\forall B\in\mathcal{E}\) ，有 \(B\subset Y,\ f^{-1}B\in f^{-1}\mathcal{E}\subset\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\) ，所以 \(B\in\mathcal{G}\) ，所以 \(\mathcal{E}\subset\mathcal{G}\) 。

由 \(\sigma(\mathcal{E})\) 是包含 \(\mathcal{E}\) 的最小的 \(\sigma\) 域，且 \(\mathcal{G}\) 为 \(\sigma\) 域，所以 \(\sigma(\mathcal{E})\subset\mathcal{G}\) 。即

\[\forall A\in\sigma(\mathcal{E})\ \ \Longrightarrow \ \ A\in\mathcal{G}\ \ \Longrightarrow \ \ f^{-1}A\in\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\ \ \Longrightarrow \ \ f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset \sigma(f^{-1}\mathcal{E}). \]

所以 \(\sigma(f^{-1}\mathcal{E})=f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\) 。

1.4.2 可测映射

可测映射：给定可测空间 \((X,\mathcal{F})\) 和 \((Y,\mathcal{S})\) 以及 \(X\) 到 \(Y\) 的映射 \(f\) ，如果

\[f^{-1}\mathcal{S}\subset\mathcal{F}, \]

则称 \(f\) 是从 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\mathcal{S})\) 的可测映射或随机元，称 \(\sigma(f)\equiv f^{-1}\mathcal{S}\) 是使映射 \(f\) 可测的最小 \(\sigma\) 域。

定理 1.4.3：设 \(\mathcal{E}\) 是 \(Y\) 上的任给集合系，则 \(f\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\sigma(\mathcal{E}))\) 的可测映射的充要条件为

\[f^{-1}\mathcal{E}\subset\mathcal{F}. \]

该定理给出了可测映射的简单判别法，从而不必再验证 \(f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset\mathcal{F}\) 。

充分性：若 \(f^{-1}\mathcal{E}\subset\mathcal{F}\) ，则由命题 1.4.2 可知

\[f^{-1}\sigma(\mathcal{E})=\sigma(f^{-1}\mathcal{E})\subset\mathcal{F}. \]

所以 \(f\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\sigma(\mathcal{E}))\) 的可测映射。

必要性：若 \(f\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\sigma(\mathcal{E}))\) 的可测映射，则有 \(f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset\mathcal{F}\) ，由命题 1.4.2 可知

\[\sigma(f^{-1}\mathcal{E})=f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset\mathcal{F}. \]

所以 \(f^{-1}\mathcal{E}\subset f^{-1}\sigma(\mathcal{E})\subset \mathcal{F}\) 。

定理 1.4.4：设 \(g\) 是可测空间 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\mathcal{S})\) 的可测映射，\(f\) 是可测空间 \((Y,\mathcal{S})\) 到 \((Z,\mathcal{Z})\) 的可测映射，则 \((f\circ g)(\cdot)\xlongequal{def}f(g(\cdot))\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Z,\mathcal{Z})\) 的可测映射。

该定理给出了复合函数的可测性。

对 \(\forall C\in\mathcal{Z}\) ，有

\[(f\circ g)^{-1}C=\{x\in X,f(g(x))\in C\}=\{x\in X,g(x)\in f^{-1}C\}=g^{-1}(f^{-1}C). \]

由 \(f\) 可测，故 \(f^{-1}C\in\mathcal{S}\) ，又由 \(g\) 可测，故 \(g^{-1}(f^{-1}C)\in\mathcal{F}\) 。

所以 \((f\circ g)^{-1}\mathcal{Z}\subset\mathcal{F}\) ，即 \(f\circ g\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Z,\mathcal{Z})\) 的可测映射。

1.4.3 可测函数

可测函数是一类特殊的可测映射，为此，要引进所谓的广义实数的概念。

广义实数：记 \(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty\}\cup\{\infty\}\) 称为广义实数。

• 规定大小：\(\forall a\in\mathbb{R}\) ，规定 \(-\infty<a<\infty\) 。

• 规定区间：\(\forall a,b\in\overline{\mathbb{R}}\) ，规定

  \[(a,b)=\{x\in\overline{\mathbb{R}}:a<x<b\}; \\ \\ [a,b)=\{x\in\overline{\mathbb{R}}:a\leq x<b\}; \\ \\ (a,b]=\{x\in\overline{\mathbb{R}}:a<x\leq b\}; \\ \\ [a,b]=\{x\in\overline{\mathbb{R}}:a\leq x\leq b\}. \]

• 规定运算：\(\forall a\in\mathbb{R}\) ，规定

  \[\begin{array}{ll} (1)&(\pm\infty)+a=a+(\pm\infty)=a-(\mp\infty)=\pm\infty. \\ \\ (2)&(\pm\infty)+(\pm\infty)=(\pm\infty)-(\mp\infty)=\pm\infty. \\ \\ (3)&\dfrac{a}{\pm\infty}=0. \\ \\ (4)&a\cdot(\pm\infty)=(\pm\infty)\cdot a=\left\{\begin{array}{ll} \pm\infty , & 0<a\leq\infty, \\ \\ 0 , &a=0 , \\ \\ \mp\infty, & -\infty\leq a<0. \end{array}\right. \end{array} \]

  注意：\((\pm\infty)-(\pm\infty),(\pm\infty)/(\pm\infty),\cdots\) 等均没有意义。

• 规定正部和负部：\(\forall a\in\overline{\mathbb{R}}\) ，规定

  \[a^+=\max\{a,0\},\quad a^-=\max\{-a,0\}=-\min\{a,0\}, \]

  分别称为 \(a\) 的正部和负部，且有

  \[a=a^+-a^-,\quad |a|=a^++a^-. \]

Borel \(\sigma\) 域：

• 回忆 \(\mathbb{R}\) 上的 Borel \(\sigma\) 域，\(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}= \sigma(\mathcal{P}_\mathbb{R})=\sigma((-\infty,a]:a\in\mathbb{R})\) 。以下等式均成立：

  \[\begin{aligned}\mathcal{B}_{\mathbb{R}}&=\sigma((-\infty,a]:a\in\mathbb{R}) \\ \\&=\sigma((-\infty,a):a\in\mathbb{R}) \\ \\&=\sigma((a,\infty):a\in\mathbb{R}) \\ \\&=\sigma([a,\infty):a\in\mathbb{R}). \end{aligned} \]

• 定义 \(\overline{\mathbb{R}}\) 上的 Borel \(\sigma\) 域：

  \[\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}\xlongequal{def}\sigma(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\{-\infty\},\{\infty\}). \]

命题 1.4.5：以下等式均成立：

\[\begin{aligned}\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}&=\sigma([-\infty,a):a\in\mathbb{R}) \\ \\&=\sigma([-\infty,a]:a\in\mathbb{R}) \\ \\&=\sigma((a,\infty]:a\in\mathbb{R}) \\ \\&=\sigma([a,\infty]:a\in\mathbb{R}). \end{aligned} \]

先证 \(\sigma(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\{-\infty\},\{\infty\})\subset\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}\) 。

对 \(\forall a\in\mathbb{R}\) ，

\[\begin{aligned} &[-\infty,a)=\{-\infty\}\cup(-\infty,a)\in\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}} \\ \\ \Longrightarrow\quad &\{[-\infty,a):a\in\mathbb{R}\}\subset\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}} \\ \\ \Longrightarrow\quad &\sigma\left([-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right)\subset\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}. \end{aligned} \]

下证 \(\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}\subset\sigma(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\{-\infty\},\{\infty\})\) 。

首先，由 \(\sigma\) 域的可列可加性可知：

\[\{-\infty\}=\bigcap_{n=1}^\infty[-\infty,-n)\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}). \]

其次，\(\forall b,c\in\mathbb{R}\) ，

\[\begin{aligned} &\left[b,c\right)=[-\infty,c)\setminus[-\infty,b)\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}). \\ \\ &\{b\}=\bigcap_{n=1}^\infty\left[b,b+\frac1n\right)\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}). \end{aligned} \]

所以

\[\begin{aligned} \left[-\infty,n\right)\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}),\quad \{n\}\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}). \end{aligned} \]

所以

\[\begin{aligned} \{\infty\}&=\bigcap_{n=1}^\infty(n,\infty]=\bigcap_{n=1}^\infty[-\infty,n]^c \\ \\ &=\bigcap_{n=1}^\infty\left([-\infty,n)\cup\{n\}\right)^c\in\sigma([-\infty,a),a\in\mathbb{R}). \end{aligned} \]

最后，\(\forall a\in\mathbb{R}\) ，

\[\begin{aligned} &(-\infty,a)=[-\infty,a)\setminus\{-\infty\}\in\sigma\left([-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right). \\ \\ \Longrightarrow\quad &\{(-\infty,a):a\in\mathbb{R}\}\subset\sigma\left([-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right) \\ \\ \Longrightarrow\quad &\mathcal{B}_{{\mathbb{R}}}=\sigma\left((-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right)\subset\sigma\left([-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right). \end{aligned} \]

综上所述，

\[\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}=\sigma(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\{-\infty\},\{\infty\})\subset \sigma\left([-\infty,a):a\in\mathbb{R}\right). \]

证毕。

可测函数和随机变量：

• 从可测空间 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((\overline{\mathbb{R}},\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}})\) 的可测映射称为 \((X,\mathcal{F})\) 上的可测函数。
• 从可测空间 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((\mathbb{R},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})\) 的可测映射称为 \((X,\mathcal{F})\) 上的有限值可测函数或随机变量。

定理 1.4.6（可测函数的判别方法）：下列说法等价：

(1) \(f\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 上的可测函数或随机变量；

(2) \(\{f<a\}\in\mathcal{F},\ \forall a\in\mathbb{R}\) ；

(3) \(\{f\leq a\}\in\mathcal{F},\ \forall a\in\mathbb{R}\) ；

(4) \(\{f>a\}\in\mathcal{F},\ \forall a\in\mathbb{R}\) ；

(5) \(\{f\geq a\}\in\mathcal{F},\ \forall a\in\mathbb{R}\) ；

注意：\(\{f<a\}=\{x\in X:f(x)<a\}=f^{-1}[-\infty,a)\) 。

推论 1.4.7：若 \(f\) 和 \(g\) 为 \((X,\mathcal{F})\) 上的可测函数，则

\[\{f<g\}\in\mathcal{F},\quad \{f\leq g\}\in\mathcal{F},\quad \{f=g\}\in\mathcal{F}, \\ \\ \{f=a\}\in\mathcal{F},\quad \forall a\in\overline{\mathbb{R}}. \]

用 \(\mathbb{Q}\) 表示全体有理数集，由定理 1.4.6 可知

\[\{f<g\}=\bigcup_{\gamma\in\mathbb{Q}}(\{f<\gamma\}\cap\{g>\gamma\})\in\mathcal{F}. \]

同理 \(\{g<f\}\in\mathcal{F}\) ，所以

\[\begin{aligned} &\{f\leq g\}=\{g<f\}^c\in\mathcal{F}. \\ \\ &\{f=g\}=\{f\leq g\}\setminus\{f<g\}\in\mathcal{F}. \end{aligned} \]

对 \(\forall a\in\overline{\mathbb{R}}\) ，

• 若 \(a\in\mathbb{R}\) ，则 \(\{f=a\}=\{f\leq a\}\setminus\{f<a\}\in\mathcal{F}\) ；
• 若 \(a=\infty\) ，则 \(\{f=\infty\}=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\{f>n\}\in\mathcal{F}\) ；
• 若 \(a=-\infty\) ，则 \(\{f=\infty\}=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty\{f<-n\}\in\mathcal{F}\) ，

所以 \(\{f=a\}\in\mathcal{F}\) 。

1.4.4 可测函数的例子

例1. 设 \(a\in\overline{\mathbb{R}}\) ，可测空间 \((X,\mathcal{F})\) 上的常数函数 \(f\equiv a\) 是可测函数。

\[\forall b\in\mathbb{R},\quad \{f<b\}=\left\{\begin{array}{ll} \varnothing\in\mathcal{F}, & b\leq a. \\ \\ X\in\mathcal{F} , & b>a. \end{array}\right. \]

例2. 可测空间 \((X,\mathcal{F})\) 上的集合 \(A\in\mathcal{F}\) 的示性函数 \(I_A\) 是可测函数。

\[\forall a\in\mathbb{R},\quad \{I_A<a\}=\left\{\begin{array}{ll} \varnothing\in\mathcal{F}, & a\leq 0. \\ \\ A^c\in\mathcal{F} , & 0<a<1. \\ \\ X\in\mathcal{F}, & a>1. \end{array}\right. \]

例3. \(\forall a,b\in\mathbb{R}\) 和不交的 \(A,B\in\mathcal{F}\) ，则 \(aI_A+bI_B\) 是可测函数。

仅验证如下情况：设 \(a,b\in\mathbb{R}\) 且 \(0\leq a<b\) 。

\[\forall c\in\mathbb{R},\quad \{aI_A+bI_B<c\}=\left\{\begin{array}{ll} \varnothing\in\mathcal{F}, & c\leq 0. \\ \\ (A\cup B)^c\in\mathcal{F} , & 0<c\leq a. \\ \\ B^c\in\mathcal{F}, & a<c\leq b. \\ \\ X\in\mathcal{F}, & c>b. \end{array}\right. \]

1.5 可测函数的运算

1.5.1 四则运算和极限运算

可测函数是一种特殊的映射，其像空间 \(\overline{\mathbb{R}}\) 中的元素是可以进行运算的。本节主要讨论的问题是：定义在可测空间 \((X,\mathcal{F})\) 上的可测函数，在经过 \(\overline{\mathbb{R}}\) 中的运算以后，其可测性是否仍然可以保持？

定理 1.5.1（四则运算）：如果 \(f,g\) 是可测函数，假设下面的运算均有意义，则

(1) \(\forall a\in\overline{\mathbb{R}}\) ，\(af\) 是可测函数；

(2) \(f+g\) 是可测函数；

(3) \(f\cdot g\) 是可测函数；

(4) \(f/g\) 是可测函数。

(1) 对 \(\forall a\in\overline{\mathbb{R}}\) 分类讨论：

• 若 \(a=-\infty\) ，则 \(af=(-\infty)\cdot I_{\{f>0\}}+\infty\cdot I_{\{f<0\}}+0\cdot I_{\{f=0\}}\) 为可测函数；
• 若 \(a=0\) ，则 \(af=0\) 为可测函数；
• 若 \(a=\infty\) ，则 \(af=(\infty)\cdot I_{\{f>0\}}+(-\infty)\cdot I_{\{f<0\}}+0\cdot I_{\{f=0\}}\) 为可测函数；
• 若 \(a\in\mathbb{R}\) 且 \(a\neq 0\) ，
• 若 \(a\in(0,\infty)\) ，则 \(\forall b\in\mathbb{R},\ \{af<b\}=\{f<b/a\}\in\mathcal{F}\) ，故 \(af\) 为可测函数；
• 若 \(a\in(-\infty,0)\) ，则 \(\forall b\in\mathbb{R},\ \{af<b\}=\{f>b/a\}\in\mathcal{F}\) ，故 \(af\) 为可测函数；

(2) \(\forall a\in\mathbb{R}\) ，有

\[\{f+g<a\}=\bigcup_{\gamma\in\mathbb{Q}}(\{f<\gamma\}\cap\{g<a-\gamma\})\in\mathcal{F}. \]

所以 \(f+g\) 为可测函数。

(3) \(\forall a\in\mathbb{R}\) ，有 \(\{f\cdot g<a\}=A_1\cup A_2\) ，其中

\[\begin{aligned} A_1&=\{fg<a\}\cap\{g=0\}=\left\{\begin{array}{ll} \varnothing\in\mathcal{F},& a\leq0. \\ \\ \{g=0\}\in\mathcal{F},& a>0. \end{array}\right. \\ \\ A_2&=\{fg<a\}\cap\{g\neq0\}=\{fg<a\}\cap(\{g>0\}\cup\{g<0\}) \\ \\ &=(\{fg<a\}\cap\{g>0\})\cup(\{fg<a\}\cap\{g<0\}) \\\\ &=\left[\{g>0\}\cap\left(\bigcup_{\gamma\in\mathbb{Q}}\{f<\gamma,\gamma g<a\}\right)\right]\cup\left[\{g<0\}\cap\left(\bigcup_{\gamma\in\mathbb{Q}}\{f>\gamma,\gamma g<a\}\right)\right]\in\mathcal{F}. \end{aligned} \]

所以 \(f\cdot g\) 为可测函数。

(4) 只需证 \(1/g\) 是可测函数。\(\forall a\in\mathbb{R}\) ，有

\[\begin{aligned} \left\{\frac1g<a\right\}&=\left\{\frac1g<a\right\}\cap(\{g>0\}\cup\{g<0\}) \\ \\ &=\left[\left\{\frac1g<a\right\}\cap\{g>0\}\right]\cup \left[\left\{\frac1g<a\right\}\cap\{g>0\}\right] \\ \\ &=\left[\left\{ag>1\right\}\cap\{g>0\}\right]\cup \left[\left\{ag<1\right\}\cap\{g>0\}\right]\in\mathcal{F}. \end{aligned} \]

所以 \(1/g\) 为可测函数，从而 \(f/g\) 为可测函数。

定理1.5.2（极限运算）：如果 \(\{f_n,n\geq1\}\) 是可测函数列，则

\[\inf_{n\geq1}f_n,\quad \sup_{n\geq1}f_n,\quad \liminf_{n\to\infty}f_n,\quad \limsup_{n\to\infty}f_n \]

仍是可测函数。

(1) \(\forall a\in\mathbb{R},\ \displaystyle\left\{\inf_{n\geq1}f_n\geq a\right\}=\bigcap_{n=1}^\infty\{f_n\geq a\}\in\mathcal{F}\) ，所以 \(\displaystyle\inf_{n\geq1}f_n\) 是可测函数。

(2) \(\forall a\in\mathbb{R},\ \displaystyle\left\{\sup_{n\geq1}f_n\leq a\right\}=\bigcap_{n=1}^\infty\{f_n\leq a\}\in\mathcal{F}\) ，所以 \(\displaystyle\sup_{n\geq1}f_n\) 是可测函数。

(3) \(\displaystyle\liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_{j\geq1}\inf_{n\geq j}f_n\equiv\sup_{j\geq1}F_j\) ，由于 \(F_j\) 是可测函数，所以 \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}f_n\) 是可测函数。

(4) \(\displaystyle\limsup_{n\to\infty}f_n=\inf_{j\geq1}\sup_{n\geq j}f_n\equiv\inf_{j\geq1}G_j\) ，由于 \(G_j\) 是可测函数，所以 \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}f_n\) 是可测函数。

1.5.2 可测函数的结构

下面我们讨论可测函数的结构，首先介绍三个基本概念：

有限分割：有限个两两不交的集合 \(\{A_i\subset X,i=1,2,\cdots,n\}\) 如果满足 \(\bigcup_{i=1}^nA_i=X\) ，则将这族两两不交的集合 \(\{A_i,i=1,2,\cdots,n\}\) 称为空间 \(X\) 的一个有限分割。

有限可测分割：若对 \(\forall 1\leq i\leq n\) ，有 \(A_i\in\mathcal{F}\) ，则 \(X\) 的有限分割 \(\{A_i,i=1,2,\cdots,n\}\) 称为可测空间 \((X,\mathcal{F})\) 的有限可测分割。

简单函数：对可测空间 \((X,\mathcal{F})\) 上的函数 \(f:X\to\mathbb{R}\) ，如果存在有限可测分割 \(\{A_i,i=1,2,\cdots,n\}\) 和实数 \(\{a_i\in\mathbb{R},i=1,2,\cdots,n\}\) ，使得

\[f=\sum_{i=1}^na_iI_{A_i} , \]

则称 \(f\) 为简单函数。容易证明：简单函数是可测函数；简单函数的线性组合仍为简单函数。

关于可测函数，我们作如下约定：

• 对可测函数 \(f\) ，如果 \(\exists M\in(0,\infty)\) ，使得 \(|f(x)|<M,\ \forall x\in X\) ，则称 \(f\) 是有界的。

• 可测函数 \(f\) 的正部：\(f^+(x)=\left[f(x)\right]^+,\ \forall x\in X\) 。

  可测函数 \(f\) 的负部：\(f^-(x)=\left[f(x)\right]^-,\ \forall x\in X\) 。

• 记 \(f_n(x)\to f(x)\) 表示逐点收敛，即 \(f_n(x)\to f(x),\ \forall x\in X\) 。

定理 1.5.3 ：以下两个命题成立：

(1) 对任何非负可测函数 \(f\) ，存在非负简单函数列 \(\{f_n,n\geq1\}\) ，使得 \(f_n\uparrow f\) 。如果 \(f\) 是非负有界可测的，则存在非负简单函数列 \(\{f_n,n\geq1\}\) ，使得 \(f_n\uparrow f\) 对 \(\forall x\in X\) 一致成立。

(2) 对任何可测函数 \(f\) ，存在简单函数列 \(\{f_n,n\geq1\}\) ，使得 \(f_n\to f\) 。如果 \(f\) 是有界可测的，则存在简单函数列 \(\{f_n,n\geq1\}\) ，使得 \(f_n\to f\) 对 \(\forall x\in X\) 一致成立。

(1) 设 \(f\) 非负可测，令

\[f_n=\sum_{k=0}^{n2^n-1}\frac k{2^n}I_{\left\{\frac k{2^n}\leq f<\frac{k+1}{2^n}\right\}}+n\cdot I_{\{f\geq n\}} , \]

则 \(f_n\) 是非负非降简单函数，且

\[\left\{\begin{array}{ll} 0\leq f(x)-f_n(x)\leq \dfrac1{2^n}, & f(x)<n. \\ \\ f_n(x)=n\leq f(x), & f(x)\geq n . \end{array}\right. \]

若 \(f(x)=\infty\) ，则 \(f_n(x)=n\uparrow\infty\) 。

若 \(f(x)<\infty\) ，则存在正整数 \(n_0\) ，使得 \(f(x)<n_0\) ，于是当 \(n>n_0>f(x)\) 时，有

\[|f(x)-f_n(x)|=f(x)-f_n(x)\leq \frac1{2^n}\to0. \]

所以 \(f_n\uparrow f\) 。

如果 \(f\) 是非负有界可测函数，则对充分大的 \(n\) ，有

\[0\leq f(x)-f_n(x)\leq\frac{1}{2^n},\quad \forall x\in X. \]

所以 \(f_n\uparrow f\) 对 \(x\in X\) 一致成立。

(2) 记 \(f=f^+-f^-\) ，由于 \(f^+\) 和 \(f^-\) 都是非负可测函数，对 \(f^+\) 和 \(f^-\) 应用结论 (1) ，又由于简单函数的线性组合仍为简单函数，故结论成立。

1.5.3 复合可测函数的性质

首先介绍证明与可测函数有关的典型方法：

1. 证明命题对示性函数成立；
2. 证明命题对非负简单函数成立；
3. 证明命题对非负可测函数成立；
4. 证明命题对一般可测函数成立。

定理 1.5.4：设 \(g\) 是 \((X,\mathcal{F})\) 到 \((Y,\mathcal{S})\) 的可测映射，则 \(h\) 是 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的可测函数（或随机变量，或有界可测函数）的充分必要条件为存在 \((Y,\mathcal{S})\) 上的可测函数（或随机变量，或有界可测函数）\(f\) ，使得 \(h=f\circ g\) 。

只证明可测函数的情形。

充分性：若 \(f\) 为 \((Y,\mathcal{S})\) 上的可测函数，且 \(h=f\circ g\) ，则

\[h^{-1}\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}=(f\circ g)^{-1}\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}=g^{-1}\left(f^{-1}\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}\right)\subset g^{-1}\mathcal{S}. \]

所以 \(h\) 是 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的可测函数。

必要性：利用典型方法进行证明。

Step.1 设 \(h\) 是 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的非负简单函数，即可写

\[h=\sum_{i=1}^na_iI_{A_i}, \quad 0\leq a_i<\infty, \quad A_i\in g^{-1}\mathcal{S},\quad i=1,2,\cdots,n , \quad \sum_{i=1}^nA_i=X. \]

取 \(C_i\in\mathcal{S}\) ，使得 \(A_i=g^{-1}C_i,\ i=1,2,\cdots,n\) ，这里的 \(C_i\) 不一定满足两两不交，故作变换

\[B_i=C_i\setminus\bigcup_{k=1}^{i-1}C_k\in\mathcal{S},\quad i=1,2,\cdots,n, \]

则 \(\{B_i,i=1,2,\cdots,n\}\) 两两不交，又 \(\{A_i,i=1,2,\cdots,n\}\) 两两不交，则有

\[\begin{aligned} A_i&=A_i\setminus\bigcup_{k=1}^{i-1}A_k=g^{-1}C_i\setminus\bigcup_{k=1}^{i-1}g^{-1}C_k=g^{-1}\left(C_i\setminus\bigcup_{k=1}^{i-1}C_k\right)=g^{-1}B_i. \end{aligned} \]

令 \(f=\sum_{i=1}^na_iI_{B_i}\) ，则 \(f\) 是 \((Y,\mathcal{S})\) 上的非负简单函数，且 \(\forall x\in X\) ，

\[h(x)=\sum_{i=1}^na_iI_{A_i}(x)=\sum_{i=1}^na_iI_{g^{-1}B_i}(x)=\sum_{i=1}^na_iI_{B_i}(g(x))=(f\circ g)(x). \]

所以 \(h\) 为非负简单函数时结论成立，且 \(f\) 为非负简单函数。

Step.2 设 \(h\) 是 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的非负可测函数，则存在非负简单函数列 \(\{h_n,n\geq1\}\) ，使得 \(h_n\uparrow h\) 。

对每一个 \(h_n\) ，存在 \((Y,\mathcal{S})\) 上的非负简单函数 \(f_n\) ，使得 \(h_n=f_n\circ g\) 。

令 \(F_n=\displaystyle\max_{1\leq k \leq n}f_k\) ，则 \(F_n\) 非负非降且由 \(h_n\) 单增可知 \(h_n=F_n\circ g\) ，且 \(F_n\) 为 \((Y,\mathcal{S})\) 上的可测函数。

令 \(f=\displaystyle\lim_{n\to\infty}F_n\) ，则有 \(h=f\circ g\) ，且 \(f\) 为非负可测函数。

Step.3 设 \(h\) 是 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的一般可测函数，记 \(h=h^+-h^-\) ，则 \(h^+\) 和 \(h^-\) 均为 \((X,g^{-1}\mathcal{S})\) 上的非负可测函数。设 \(f^\pm\) 分别为 Step.2 中的 \(h^\pm\) 对应的 \(f\) 函数，令 \(f=f^+-f^-\) ，则 \(h=f\circ g\) ，且 \(f\) 为可测函数。

1.5.4 两个函数类：单调类和 \(\lambda\) 类

定理 1.5.5：设 \(\mathcal{A}\) 是一个域，\(\mathcal{M}\) 是一个由 \(X\) 上的非负广义实值函数组成的单调类：即由 \(X\) 上的具有以下性质的非负广义实值函数组成的集合：

1. \(\forall f,g\in\mathcal{M}\) 和 \(a,b\in\mathbb{R}\) ，若 \(af+bg\geq0\) ，则 \(af+bg\in\mathcal{M}\) （关于非负线性组合封闭）；
2. \(\forall\{f_n\in\mathcal{M},n\geq1\}\) ，若 \(f_n\uparrow f\) ，则 \(f\in\mathcal{M}\) （关于单调递增函数列的极限函数封闭）。

结论：如果对每个 \(A\in\mathcal{A}\) ，均有 \(I_A\in\mathcal{M}\) ，则 \((X,\sigma(\mathcal{A}))\) 上的一切非负可测函数均属于 \(\mathcal{M}\) 。

令 \(\mathcal{G}=\{A:I_A\in\mathcal{M}\}\) ，下证 \(\mathcal{G}\) 为单调系。

(1) 设 \(A_n\uparrow,\ A_n\in\mathcal{G},\ n\geq1\) ，则 \(I_{A_n}\in\mathcal{M}\) 且 \(I_{A_n}\uparrow\) 。由单调类定义之条件 2 可知

\[\lim_{n\to\infty}I_{A_n}=I_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n}\in\mathcal{M}, \]

所以

\[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{G}. \]

(2) 设 \(A_n\downarrow,\ A_n\in\mathcal{G},\ n\geq1\) ，则 \(I_{A_n}\in\mathcal{M}\) 且 \(I_{A_n}\downarrow\) 。

因为 \(X\in\mathcal{A}\) ，所以 \(I_X=1\in\mathcal{M}\) 。由单调类定义之条件 1 可知 \(0\leq I_{A_n^c}=1-I_{A_n}\in\mathcal{M}\) 。

因为 \(I_{A_n^c}\uparrow\) ，所以

\[\lim_{n\to\infty}I_{A_n^c}=\lim_{n\to\infty}(1-I_{A_n})=1-\lim_{n\to\infty}I_{A_n}=1-I_{\bigcap_{n=1}^\infty A_n}\in\mathcal{M}. \]

所以

\[0\leq I_{\bigcap_{n=1}^\infty A_n}=1-\left(1-I_{\bigcap_{n=1}^\infty A_n}\right)\in\mathcal{M}. \]

所以

\[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{G}. \]

综上，我们证明了 \(\mathcal{G}\) 是单调系。

又因为 \(\forall A\in\mathcal{A}\) ，\(I_A\in\mathcal{M}\) ，所以 \(A\in\mathcal{G}\) ，所以 \(\mathcal{A}\subset\mathcal{G}\) 。由推论 1.3.4 可知 \(\sigma(\mathcal{A})=m(\mathcal{A})\subset\mathcal{G}\) 。

即 \(\forall A\in\sigma(\mathcal{A})\) ，均有 \(I_A\in\mathcal{M}\) ，所以由单调类定义之条件 1 可知，\((X,\sigma(\mathcal{A}))\) 上的一切非负简单函数均属于 \(\mathcal{M}\) 。

再由定理 1.5.3 (1) 和单调类定义之条件 2 可知，\((X,\sigma(\mathcal{A}))\) 上的一切非负可测函数均属于 \(\mathcal{M}\) 。

定理 1.5.6：设 \(\mathcal{P}\) 是一个 \(\pi\) 系，\(\mathcal{L}\) 是一个由 \(X\) 上的非负广义实值函数组成的 \(\lambda\) 类：即由 \(X\) 上的具有以下性质的非负广义实值函数组成的集合：

1. \(1\in\mathcal{L}\) ；
2. \(\forall f,g\in\mathcal{L}\) 和 \(a,b\in\mathbb{R}\) ，若 \(af+bg\geq0\) ，则 \(af+bg\in\mathcal{L}\) ；
3. \(\forall\{f_n\in\mathcal{L},n\geq1\}\) ，若 \(f_n\uparrow f\) ，则 \(f\in\mathcal{L}\) 。

结论：如果对每个 \(A\in\mathcal{P}\) ，均有 \(I_A\in\mathcal{L}\) ，则 \((X,\sigma(\mathcal{P}))\) 上的一切非负可测函数均属于 \(\mathcal{L}\) 。

令 \(\mathcal{G}=\{A:I_A\in\mathcal{L}\}\) ，下证 \(\mathcal{G}\) 为 \(\lambda\) 系。

(1) 因为 \(I_X=1\in\mathcal{L}\) ，所以 \(X\in\mathcal{G}\) 。

(2) 设 \(A,B\in\mathcal{G}\) 且 \(B\subset A\) ，则 \(I_A,I_B\in\mathcal{L}\) ，且 \(I_A-I_B\geq0\) 。所以

\[0\leq I_{A-B}=I_A-I_B\in\mathcal{L} \]

所以 \(A-B\in\mathcal{G}\) 。

(3) 设 \(A_n\uparrow,\ A_n\in\mathcal{G},\ n\geq1\) ，则 \(I_{A_n}\in\mathcal{L}\) 且 \(I_{A_n}\uparrow\) 。由 \(\lambda\) 类的定义之要求 3 可知

\[\lim_{n\to\infty}I_{A_n}=I_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n}\in\mathcal{L}. \]

所以

\[\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{G}. \]

综上，我们证明了 \(\mathcal{G}\) 为 \(\lambda\) 系。

又因为 \(\forall A\in\mathcal{P}\) ，\(I_A\in\mathcal{L}\) ，所以 \(A\in\mathcal{G}\) ，所以 \(\mathcal{P}\subset\mathcal{G}\) 。由定理 1.3.5 可知 \(\sigma(\mathcal{P})=l(\mathcal{P})\subset\mathcal{G}\) 。

即 \(\forall A\in\sigma(\mathcal{P})\) ，均有 \(I_A\in\mathcal{L}\)​ ，所以由 \(\lambda\) 类定义之条件 2 可知，\((X,\sigma(\mathcal{P}))\) 上的一切非负简单函数均属于 \(\mathcal{L}\) 。

再由定理 1.5.3 (1) 和单调类定义之条件 3 可知，\((X,\sigma(\mathcal{P}))\) 上的一切非负可测函数均属于 \(\mathcal{M}\) 。