应用随机过程08：功率谱密度

目录

• 第八讲 功率谱密度
  • 一、功率谱密度的定义
    • Part 1：傅里叶变换
    • Part 2：确定性信号的功率谱密度
    • Part 3：平稳过程的功率谱密度
  • 二、功率谱密度的性质
    • Part 1：维纳-辛钦公式
    • Part 2：\(\delta\) 函数
    • Part 3：白噪声

第八讲 功率谱密度

一、功率谱密度的定义

Part 1：傅里叶变换

之前我们对于平稳过程的研究，主要讨论了其自相关函数在时域上的性质。而这一节我们主要介绍平稳过程的自相关函数在频域上的等价描述，两者之间的联系就是傅里叶变换。首先了解一些概念。

设信号 \(x(t)\) 是时间的函数，\(t\in\mathbb{R}\) ，满足狄利克雷条件，且 \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty|x(t)|{\rm d}t<\infty\) ，则称 \(x(t)\) 的傅里叶变换存在或称 \(x(t)\) 具有频谱。

狄利克雷条件括三方面：

1. 在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点；
2. 在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
3. 在一周期内，信号是绝对可积的

定义傅里叶变换为

\[F_x(\omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-i\omega t} {\rm d}t \ , \quad -\infty<\omega<\infty \ . \]

定义傅里叶逆变换为

\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}F_x(\omega){\rm d}\omega \ , \quad -\infty<t<\infty \ . \]

其中 \(\omega\) 称为圆频率，\(F_x(\omega)\) 称为信号 \(x(t)\) 的频谱。

信号 \(x(t)\) 与频谱 \(F_x(\omega)\) 之间有 Parseval 等式成立：

\[\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t){\rm d}t=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\left|F_x(\omega)\right|^2{\rm d}\omega \ . \]

这里 \(x^2(t)\) 的含义是信号在 \(t\) 时刻的功率，因此积分 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t){\rm d}t\) 含义是信号的总能量。

Parseval 等式表明信号的总能量等于各谐分量能量的叠加。

Part 2：确定性信号的功率谱密度

因为在工程技术中，通常会出现总能量 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t){\rm d}t=\infty\) 的情况，而信号的平均功率一般是有限的。所以我们需要改变研究对象，转向对平均功率的研究，其定义式为

\[\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^Tx^2(t){\rm d}t<\infty \ . \]

为此利用傅里叶变换给出平均功率的谱表达式：

作 \(x(t)\) 的截尾函数：

\[x_T(t)=\left\{\begin{array}{ll} x(t) \ , & |t|\leq T \ , \\ 0 \ , & |t|>T \ . \end{array} \right. \]

记 \(x_T(t)\) 的傅里叶变换为

\[F_x(\omega,T)=\int_{-\infty}^\infty x_T(t)e^{-i\omega t}{\rm d}t=\int_{-T}^Tx(t)e^{-i\omega t}{\rm d}t \ . \]

写出 \(x_T(t)\) 的 Parseval 等式为

\[\int_{-\infty}^{\infty}x_T^2(t){\rm d}t=\int_{-T}^{T}x^2(t){\rm d}t=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\left|F_x(\omega,T)\right|^2{\rm d}\omega \ . \]

对等式两边除以 \(2T\) 再令 \(T\to\infty\) ，可得 \(x(t)\) 在 \((-\infty,\infty)\) 上的平均功率的谱表达式：

\[\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x_T^2(t){\rm d}t=\lim_{T\to\infty}\frac1{4\pi T}\int_{-\infty}^\infty\left|F_x(\omega,T)\right|^2{\rm d}\omega=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\left|F_x(\omega,T)\right|^2{\rm d}\omega \ . \]

我们将等式右边中的被积函数定义为

\[S_x(\omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\left|F_x(\omega,T)\right|^2 \ . \]

这就是信号 \(x(t)\) 在 \(\omega\) 处的功率谱密度。

Part 3：平稳过程的功率谱密度

我们可以将平稳过程 \(\{X(t):-\infty<t<\infty\}\) 看成一个随机信号，此时依然有 Parseval 等式：

\[\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X^2(t){\rm d}t=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\left|F_X(\omega,T)\right|^2{\rm d}\omega \ . \]

与确定性信号不同，我们在定义平稳过程的平均功率时，需要将其定义在数学期望的意义下：

\[\lim_{T\to\infty}{\rm E}\left[\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X^2(t){\rm d}t\right]=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{\rm E}\left[X^2(t)\right]{\rm d}t=R_X(0) \ , \]

即平稳过程的平均功率等于该过程的二阶矩。

在数学期望的意义下，将 Parseval 等式右边中的被积函数记为

\[S_X(\omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\left|F_X(\omega,T)\right|^2\right] \ ， \]

在频域中称之为平稳过程 \(\{X(t)\}\) 在 \(\omega\) 处的功率谱密度。

利用 \(S_X(\omega)\) 及 \(R_X(0)\) 简化等式得到

\[R_X(0)=\psi_X^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega){\rm d}\omega \ , \]

称为平稳过程 \(\{X(t)\}\) 的平均功率的谱表达式。

谱密度 \(S_X(\omega)\) 也是描述平稳过程 \(\{X(t)\}\) 的统计性质的重要的数字特征之一。

二、功率谱密度的性质

Part 1：维纳-辛钦公式

定理：\(S_X(\omega)\) 是 \(\omega\) 的实函数，并且是非负的偶函数。

我们利用 \(S_X(\omega)\) 和 \(|F_X(\omega,T)|^2\) 的关系来证明这个结论

\[S_X(\omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\left|F_X(\omega,T)\right|^2\right] \ . \]

首先证明 \(\left|F_X(\omega,T)\right|^2=F_X(\omega,T)F_X(-\omega,T)\) 也是 \(\omega\) 的实函数，并且是非负的偶函数。

因为 \(F_X(\omega,T)\) 是一个复值函数，其共轭为

\[\overline{F_X(\omega,T)}=\overline{\int_{-T}^T X(t)e^{-i\omega t} {\rm d}t}=\int_{-T}^T x(t)e^{i\omega t} {\rm d}t=F_X(-\omega,T) \ , \]

又因为一个复数的模的平方一定是非负实数，且可以表示为该复数与其共轭复数的乘积，所以

\[\left|F_X(\omega,T)\right|^2=F_X(\omega,T)\overline{F_X(\omega,T)}=\left|F_X(\omega,T)\right|^2=F_X(\omega,T)F_X(-\omega,T) \ . \]

从而容易得出 \(|F_X(\omega,T)|^2\) 也是关于 \(\omega\) 的偶函数的结论。

因为 \(S_X(\omega)\) 是 \(|F_X(\omega,T)|^2\) 的均值的极限，所以 \(S_X(\omega)\) 也必是 \(\omega\) 的实函数，并且是非负的偶函数。

定理（维纳-辛钦公式）：功率谱密度 \(S_X(\omega)\) 和自相关函数 \(R_X(\tau)\) 是一组傅里叶变换对，

\[\begin{aligned} &S_X(\omega)=\int_{-\infty}^\infty R_X(\tau)e^{-i\omega \tau}{\rm d}\tau \ , \\ &R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{i\omega t}{\rm d}\omega \ . \end{aligned} \]

证明：

\[\begin{aligned} S_X(\omega)&=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\left|F_X(\omega,T)\right|^2\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\left|\int_{-T}^T X(t)e^{-i\omega t} {\rm d}t\right|^2\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\int_{-T}^T X(t)e^{-i\omega t} {\rm d}t\overline{\int_{-T}^T X(s)e^{-i\omega s} {\rm d}s}\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\int_{-T}^T\int_{-T}^T X(t)X(s)e^{-i\omega(t-s)} {\rm d}t {\rm d}s\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T\int_{-T}^T R_X(t-s)e^{-i\omega(t-s)} {\rm d}t {\rm d}s\\ &\xlongequal[\tau_1=t+s]{\tau=t-s}\lim_{T\to\infty}\int_{-2T}^{2T}\left(1-\frac{|\tau|}{2T}\right) R_X(\tau)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau\\ \end{aligned} \]

定义

\[R_X(\tau,T)=\left\{\begin{array}{ll} \left(1-\dfrac{|\tau|}{2T}\right) R_X(\tau) \ , & |\tau|\leq 2T \ , \\ 0 \ , & |\tau|>2T \ , \end{array}\right. \]

则有 \(\displaystyle\lim_{T\to\infty}R_X(\tau,T)=R_X(\tau)\) ，于是

\[S_X(\omega)=\lim_{T\to\infty}\int_{-\infty}^\infty R_X(\tau,T)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau=\int_{-\infty}^\infty\lim_{T\to\infty}R_X(\tau,T)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau=\int_{-\infty}^\infty R_X(\tau)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau \ . \]

反之由傅里叶逆变换的定义得证。

推论：由于 \(R_X(\tau)\) 和 \(S_X(\omega)\) 都是实偶函数，所以利用欧拉公式可以将维纳-辛钦公式改写成

\[\begin{aligned} &S_X(\omega)=2\int_{0}^\infty R_X(\tau)\cos\omega\tau{\rm d}\tau \ , \\ &R_X(\tau)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^\infty S_X(\omega)\cos\omega\tau{\rm d}\omega \ . \end{aligned} \]

推论：由于 \(R_X(\tau)\) 和 \(S_X(\omega)\) 都是实偶函数，所以

\[\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{-i\omega t}{\rm d}\omega=\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{i\omega t}{\rm d}\omega=2\pi R_X(\tau) \ . \]

即 \(R_X(\tau)\) 的傅里叶变换为 \(S_X(\omega)\) ，\(S_X(\omega)\) 的傅里叶变换为 \(2\pi R_X(\tau)\) 。

维纳-辛钦公式也称为平稳过程自相关函数的谱表达式，它揭示了从时域描述平稳过程 \(\{X(t)\}\) 的统计规律和从频域描述 \(\{X(t)\}\) 的统计规律之间的联系。

Part 2：\(\delta\) 函数

关于 \(\delta\) 函数的定义和性质，我们在这里只做简单介绍，详细内容可以参考《复变函数与积分变换》课程内容。\(\delta\) 函数是单位冲激函数 \(\delta(t)\) 的简称，它是一个广义函数，狄拉克给出的定义为

\[\left\{ \begin{array}{ll} \delta(t)=0 \ , \quad t\neq0 \ . \\ \\ \displaystyle\int_{-\infty}^\infty\delta(t){\rm d}t=1 \ . \end{array} \right. \]

上述表达式不规定 \(δ\) 函数在 \(0\) 点的取值，是因为这个值无法严谨地表述出来，不能笼统的定义为正无穷或某一常数，并且该取值大小是由第二个积分式决定的，因此只需限定取值为 \(0\) 的区域即可。

从概念上理解，\(δ\) 函数指的是除了 \(0\) 以外的点的函数值都等于 \(0\) ，而其在整个定义域上的积分等于 \(1\) 的函数。下面我们不予证明地给出 \(\delta\) 函数的基本性质。

定理：若函数 \(f(\tau)\) 在 \(\tau=0\) 处连续的，则有：

\[\int_{-\infty}^\infty\delta(\tau)f(\tau){\rm d}\tau=f(0) \ . \]

推论：若函数 \(f(\tau)\) 在 \(\tau=\tau_0\) 处连续的，则有：

\[\int_{-\infty}^\infty\delta(\tau-\tau_0)f(\tau){\rm d}\tau=f(\tau_0) \ . \]

定理：以下两组傅里叶变换对成立：

\[\int_{-\infty}^\infty\delta(\tau)e^{-i\omega\tau}{\rm d}\tau=1 \quad \longleftrightarrow \quad \delta(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty1\times e^{i\omega \tau}{\rm d}\omega \ . \\ \]

\[\int_{-\infty}^\infty1\times e^{-i\omega\tau}{\rm d}\tau=2\pi\delta(\omega) \quad \longleftrightarrow \quad 1=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty2\pi\delta(\omega)e^{i\omega\tau}{\rm d}\omega \ . \]

Part 3：白噪声

白噪声的定义：设 \(\{X(t),\,t\in T\}\) 是零均值随机过程，满足 \({\rm E}[X(t)]^2=\sigma^2<\infty\) 。如果对任意 \(s\neq t\) 都有 \({\rm E}(X(t)X(s))=0\) ，则称该随机过程是白噪声过程。

白噪声是宽平稳过程，其自相关函数可以写为

\[R_X(\tau)=\left\{ \begin{array}{ll} \sigma^2 \ , & \tau=0 \ , \\ 0 \ , & \tau\neq0 \ . \end{array} \right. \]

但我们可以发现，在这种定义下，白噪声的自相关函数的傅里叶变换不存在。为了对白噪声过程进行频谱分析，我们需要引入 \(\delta\) 函数。

这里我们可以从频域的角度给出白噪声的一个等价定义：设 \(\{X(t),\,t\in T\}\) 是零均值平稳过程，如果该过程的谱密度是一个正的常数，即 \(S_X(\omega)\equiv S_0>0\) ，则称该随机过程是白噪声过程。

这里我们只需要验证一下自相关函数是否满足对任意 \(s\neq t\) 都有 \({\rm E}(X(t)X(s))=0\) 的条件。

利用谱密度求得的白噪声的自相关函数为

\[R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{i\omega t}{\rm d}\omega=\frac{S_0}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}{\rm d}\omega=S_0\delta(\tau) \ . \]

可以推出这个过程在 \(t_1\neq t_2\) 时有

\[R_X(t_1-t_2)=S_0\delta(t_1-t_2)=0 \ . \]

即 \(X(t_1)\) 和 \(X(t_2)\) 是不相关的。所以 \(\{X(t),\,t\in T\}\) 是白噪声过程。

事实上，从频域的角度给出的白噪声的定义是存在其局限性的。由于我们无法给出 \(δ\) 函数在 \(0\) 点的确定取值，所以我们无法通过谱密度函数求出这个白噪声的方差函数。这是因为理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，也就是说 \(R_X(0)\) 是无限的，但这在现实世界是不可能存在的。

所以，在随机过程的研究领域中，我们仍然认为白噪声过程是一个方差有限的平稳过程。