Tarjan求有向图强连通详解

Tarjan求有向图强连通详解

注*该文章为转发，原文出处已经不得而知

全网最!详!细!tarjan算法讲解。

 

全网最详细tarjan算法讲解，我不敢说别的。反正其他tarjan算法讲解，我看了半天才看懂。我写的这个，读完一遍，发现原来tarjan这么简单！

tarjan算法，一个关于 图的联通性的神奇算法。基于DFS（迪法师）算法，深度优先搜索一张有向图。！注意！是有向图。根据树，堆栈，打标记等种种神（che）奇（dan）方法来完成剖析一个图的工作。而图的联通性，就是任督二脉通不通。。的问题。
了解tarjan算法之前你需要知道：
强连通，强连通图，强连通分量，解答树（解答树只是一种形式。了解即可）
不知道怎么办！！！

 


神奇海螺～：嘟噜噜～！
强连通(strongly connected)： 在一个有向图G里，设两个点 a b 发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。


强连通图： 如果 在一个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。


强连通分量strongly connected components)：在一个有向图G中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做 强连通分量 ［分量：：把一个向量分解成几个方向的向量的和，那些方向上的向量就叫做该向量（未分解前的向量）的分量］
举个简单的栗子：

 

比如说这个图，在这个图中呢，点1与点2互相都有路径到达对方，所以它们强连通.

而在这个有向图中，点1 2 3组成的这个子图，是整个有向图中的强连通分量。

解答树：就是一个可以来表达出递归枚举的方式的树（图），其实也可以说是递归图。。反正都是一个作用，一个展示从“什么都没有做”开始到“所有结求出来”逐步完成的过程。“过程！”


神奇海螺结束！！！

 

 

tarjan算法，之所以用DFS就是因为它将每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。而这个图，就是一个完整的搜索树。
为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行。每个点都有两个参数。
1，DFN［］作为这个点搜索的次序编号（时间戳），简单来说就是 第几个被搜索到的。％每个点的时间戳都不一样％。
2，LOW［］作为每个点在这颗树中的，最小的子树的根，每次保证最小，like它的父亲结点的时间戳这种感觉。如果它自己的LOW［］最小，那这个点就应该从新分配，变成这个强连通分量子树的根节点。
ps：每次找到一个新点，这个点LOW［］＝DFN［］。

而为了存储整个强连通分量，这里挑选的容器是，堆栈。每次一个新节点出现，就进站，如果这个点有 出度 就继续往下找。直到找到底，每次返回上来都看一看子节点与这个节点的LOW值，谁小就取谁，保证最小的子树根。如果找到DFN［］＝＝LOW［］就说明这个节点是这个强连通分量的根节点（毕竟这个LOW［］值是这个强连通分量里最小的。）最后找到强连通分量的节点后，就将这个栈里，比此节点后进来的节点全部出栈，它们就组成一个全新的强连通分量。

先来一段伪代码压压惊：
tarjan(u){

　　DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值

　　Stack.push(u)   // 将节点u压入栈中

　　for each (u, v) in E // 枚举每一条边

　　　　if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过

　　　　　　　　tarjan(v) // 继续向下找

　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], Low[v])

　　　　else if (v in S) // 如果节点u还在栈内

　　　　　　　　Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

　　if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根

　　repeat v = S.pop  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

　　print v

　　until (u== v)

}

首先来一张有向图。网上到处都是这个图。我们就一点一点来模拟整个算法。

 

从1进入 DFN［1］＝LOW［1］＝ ＋＋index －－－－1
入栈 1
由1进入2 DFN［2］＝LOW［2］＝ ＋＋index －－－－2
入栈 1 2
之后由2进入3 DFN［3］＝LOW［3］＝ ＋＋index －－－－3
入栈 1 2 3
之后由3进入 6 DFN［6］＝LOW［6］＝＋＋index －－－－4
入栈 1 2 3 6

 

 

之后发现 嗯？ 6无出度，之后判断 DFN［6］＝＝LOW［6］

说明6是个强连通分量的根节点：6及6以后的点 出栈。
栈： 1 2 3 
之后退回 节点3 Low[3] = min(Low[3], Low[6]) LOW［3］还是 3
节点3 也没有再能延伸的边了，判断 DFN［3］＝＝LOW［3］
说明3是个强连通分量的根节点：3及3以后的点 出栈。
栈： 1 2 
之后退回 节点2 嗯？！往下到节点5
DFN［5］＝LOW［5］＝ ＋＋index －－－－－5
入栈 1 2 5

 

ps：你会发现在有向图旁边的那个丑的（划掉）搜索树 用红线剪掉的子树，那个就是强连通分量子树。每次找到一个。直接。一剪子下去。半个子树就没有了。。

结点5 往下找，发现节点6 DFN［6］有值，被访问过。就不管它。
继续 5往下找，找到了节点1 他爸爸的爸爸。。DFN［1］被访问过并且还在栈中，说明1还在这个强连通分量中，值得发现。 Low[5] = min(Low[5], DFN[1]) 
确定关系，在这棵强连通分量树中，5节点要比1节点出现的晚。所以5是1的子节点。so
LOW［5］＝ 1

由5继续回到2 Low[2] = min(Low[2], Low[5])
LOW［2］＝1；
由2继续回到1 判断 Low[1] = min(Low[1], Low[2]) 
LOW［1］还是 1
1还有边没有走过。发现节点4，访问节点4
DFN［4］＝LOW［4］＝＋＋index －－－－6
入栈 1 2 5 4 
由节点4，走到5，发现5被访问过了，5还在栈里，
Low[4] = min(Low[4], DFN[5]) LOW［4］＝5
说明4是5的一个子节点。

 

由4回到1.

回到1，判断 Low[1] = min(Low[1], Low[4])
LOW［1］还是 1 。

判断 LOW［1］ ＝＝ DFN［1］ 
诶？！相等了    说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。
将栈中1以及1之后进栈的所有点，都出栈。
栈 ：（鬼都没有了）

这个时候就完了吗？！

你以为就完了吗？！

然而并没有完，万一你只走了一遍tarjan整个图没有找完怎么办呢？！

所以。tarjan的调用最好在循环里解决。

like    如果这个点没有被访问过，那么就从这个点开始tarjan一遍。

因为这样好让每个点都被访问到。

 

来一道裸代码。
输入：
一个图有向图。
输出：
它每个强连通分量。

这个图就是刚才讲的那个图。一模一样。

input:

6 8

1 3

1 2

2 4

3 4

3 5

4 6

4 1

5 6

output:

6

5

3 4 2 1

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<string.h>
 4 using namespace std;
 5 struct node {
 6     int v,next;
 7 }edge[1001];
 8 int DFN[1001],LOW[1001];
 9 int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index;
10 void add(int x,int y)
11 {
12     edge[++cnt].next=heads[x];
13     edge[cnt].v = y;
14     heads[x]=cnt;
15     return ;    
16 }
17 void tarjan(int x)//代表第几个点在处理。递归的是点。
18 {
19     DFN[x]=LOW[x]=++tot;// 新进点的初始化。
20     stack[++index]=x;//进站
21     visit[x]=1;//表示在栈里
22     for(int i=heads[x];i!=-1;i=edge[i].next)
23     {
24         if(!DFN[edge[i].v]) {//如果没访问过
25             tarjan(edge[i].v);//往下进行延伸，开始递归
26             LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);//递归出来，比较谁是谁的儿子／父亲，就是树的对应关系，涉及到强连通分量子树最小根的事情。
27         }
28         else if(visit[edge[i].v ]){  //如果访问过，并且还在栈里。
29             LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);//比较谁是谁的儿子／父亲。就是链接对应关系
30         }
31     }
32     if(LOW[x]==DFN[x]) //发现是整个强连通分量子树里的最小根。
33     {
34         do{
35             printf("%d ",stack[index]);
36             visit[stack[index]]=0;
37             index--;
38         }while(x!=stack[index+1]);//出栈，并且输出。
39         printf("\n");
40     }
41     return ;
42 }
43 int main()
44 {
45     memset(heads,-1,sizeof(heads));
46     int n,m;
47     scanf("%d%d",&n,&m);
48     int x,y;
49     for(int i=1;i<=m;i++)
50     {
51         scanf("%d%d",&x,&y);
52         add(x,y);
53     }
54     for(int i=1;i<=n;i++)
55          if(!DFN[i])  tarjan(1);//当这个点没有访问过，就从此点开始。防止图没走完
56     return 0;
57 }

 

 
 
但是看完这个感觉还是有一点点云里雾里的，就是low[]数组的内涵，感觉还是有一些模糊，于是又多看了几篇其他文章，结合了具体实例才更加清晰。
 
下面这篇也是讲的相当不错的
↓
↓
 

1. 割点与连通度

在无向连通图中，删除一个顶点v及其相连的边后，原图从一个连通分量变成了两个或多个连通分量，则称顶点v为割点，同时也称关节点(Articulation Point)。一个没有关节点的连通图称为重连通图(biconnected graph)。若在连通图上至少删去k 个顶点才能破坏图的连通性，则称此图的连通度为k。

关节点和重连通图在实际中较多应用。显然，一个表示通信网络的图的连通度越高，其系统越可靠，无论是哪一个站点出现故障或遭到外界破坏，都不影响系统的正常工作；又如，一个航空网若是重连通的，则当某条航线因天气等某种原因关闭时，旅客仍可从别的航线绕道而行；再如，若将大规模的集成电路的关键线路设计成重连通的话，则在某些元件失效的情况下，整个片子的功能不受影响，反之，在战争中，若要摧毁敌方的运输线，仅需破坏其运输网中的关节点即可。

简单的例子

(a)中G7 是连通图，但不是重连通图。图中有三个关节点A、B 和G 。若删去顶点B 以及所有依附顶点B 的边，G7 就被分割成三个连通分量{A、C、F、L、M、J}、{G、H、I、K}和{D、E}。类似地，若删去顶点A 或G 以及所依附于它们的边，则G7 被分割成两个连通分量。

 

2. 求割点的方法

暴力的方法：

  • 依次删除每一个节点v
  • 用DFS（或BFS）判断还是否连通
  • 再把节点v加入图中

若用邻接表（adjacency list），需要做VV次DFS，时间复杂度为O(V∗(V+E))O(V∗(V+E))。（题外话：我在面试实习的时候，只想到暴力方法；面试官提示只要一次DFS就就可以找到割点，当时死活都没想出来）。

有关DFS搜索树的概念

在介绍算法之前，先介绍几个基本概念

  • DFS搜索树：用DFS对图进行遍历时，按照遍历次序的不同，我们可以得到一棵DFS搜索树，如图(b)所示。
  • 树边：（在[2]中称为父子边），在搜索树中的实线所示，可理解为在DFS过程中访问未访问节点时所经过的边。
  • 回边：（在[2]中称为返祖边、后向边），在搜索树中的虚线所示，可理解为在DFS过程中遇到已访问节点时所经过的边。

基于DFS的算法

该算法是R.Tarjan发明的。观察DFS搜索树，我们可以发现有两类节点可以成为割点：

  1. 对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点u为割点；
  2. 对非叶子节点u（非根节点），若其子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边，说明删除u之后，根结点与u的子树的节点不再连通；则节点u为割点。

对于根结点，显然很好处理；但是对于非叶子节点，怎么去判断有没有回边是一个值得深思的问题。

我们用dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点（即DFS次序号最小），那么low[u]的计算过程如下：

 

low[u]={min{low[u], low[v]}min{low[u], dfn[v]}(u,v)为树边(u,v)为回边且v不为u的父亲节点low[u]={min{low[u], low[v]}(u,v)为树边min{low[u], dfn[v]}(u,v)为回边且v不为u的父亲节点

 

下表给出图(a)对应的dfn与low数组值。

i0123456789101112
vertex A B C D E F G H I J K L M
dfn[i] 1 5 12 10 11 13 8 6 9 4 7 2 3
low[i] 1 1 1 5 5 1 5 5 8 2 5 1 1

对于情况2，当(u,v)为树边且low[v] >= dfn[u]时，节点u才为割点。该式子的含义：以节点v为根的子树所能追溯到最早的祖先节点要么为v要么为u。

代码实现

void dfs(int u) {
    //记录dfs遍历次序
    static int counter = 0; 
    
    //记录节点u的子树数
    int children = 0;
    
    ArcNode *p = graph[u].firstArc;
    visit[u] = 1;

    //初始化dfn与low
    dfn[u] = low[u] = ++counter;

    for(; p != NULL; p = p->next) {
        int v = p->adjvex;
        
        //节点v未被访问，则(u,v)为树边
        if(!visit[v]) {
            children++;
            parent[v] = u;
            dfs(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            //case (1)
            if(parent[u] == NIL && children > 1) {
                printf("articulation point: %d\n", u);
            }
            //case (2)
            if(parent[u] != NIL && low[v] >= dfn[u]) {
                printf("articulation point: %d\n", u);
            }
        }

        //节点v已访问，则(u,v)为回边
        else if(v != parent[u]) {
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
}

采用邻接表存储图，该算法的时间复杂度应与DFS相同，为O(V+E)O(V+E)。

3. 参考资料

[1] see xidian, 图的连通性—关节点和重连通分量.
[2] byvoid, 图的割点、桥与双连通分支.
[3] GeeksforGeeks, Articulation Points (or Cut Vertices) in a Graph.


如需转载，请注明作者及出处.
作者：Treant
 

 

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posted @ 2017-07-30 15:33  swallowblank  阅读(3127)  评论(1)  编辑  收藏  举报