动态规划(9) 编辑距离最终版

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• 115不同的子序列
• 583. 两个字符串的删除操作
• 编辑距离

115不同的子序列

1. dp数组的含义：dp[i][j]以 i-1结尾的s中包含有多少个以j-1为结尾的t
2. dp初始化：dp[0][0]空字符串中有多少个空字符串，显然1个 dp[i][0]以i-1为结尾的s中包含有多少个空字符串，也是1个
3. 递推公式： 显然需要考虑 s[i-1]==t[j-1]

• s[i-1]t[j-1] dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]，因为也需要考虑到前面的dp数组已经满足条件
  比如bagg和bag s[3]t[2]可以通过bag ba推导出一个满足的，也要加入bag bag来推导
• s[i-1]!=t[j-1] dp[i][j]=dp[i-1][j]

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        //dp数组的含义dp[i][j]以 i-1结尾的s中包含有多少个以j-1为结尾的t
        int n=s.length();
        int m=t.length();
        vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(m+1,0));
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            dp[i][0]=1;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            dp[0][i]=0;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                if(s[i-1]==t[j-1])
                {
                    dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j])%1000000007;
                }
                else{
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
};

583. 两个字符串的删除操作

主要是递推公式

1. 如果字符相等，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-1]
2. 如果不等

• 删word1，即把当前word1[i]给删了，dp[i][j]=dp[i-1][j]+1
• 删word2，dp[i][j]=dp[i][j-1]+1

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int n = word1.length();
        int m = word2.length();
        // dp含义，以i-1为结尾的word1变到以j-1为结尾的word2需要的操作步数
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
        // dp初始化
        //显然，从长度为x的字符串，变成长度为0的字符串，需要删除x个字符
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            dp[0][j] = j;
        }
        // dp推导
        // word1[i]==word2[j] 挺好，不用变了，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
};

编辑距离

题目的初始化和dp定义和之前的题目都差不多
主要是递推公式中不相等的情况

当word1[i]!=word2[j]时

dp[i][j]=以下三个中的最小值

1. dp[i-1][j-1]+1代表换了一个元素，比如bag bae 只要替换一下就能得到相同的元素
2. dp[i-1][j]+1 代表删了word1[i-1]元素
3. dp[i][j-1]+1 代表删了word2[j-1]元素

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        //dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需
        //要删除元素的最少次数。
        vector<vector<int>> dp(word1.size()+1,vector<int>(word2.size()+1,0));
        for(int i=0;i<=word1.size();i++)
        {
            dp[i][0]=i;
        }
        for(int j=0;j<=word2.size();j++)
        {
            dp[0][j]=j;
        }
        for(int i=1;i<=word1.size();i++)
        {
            for(int j=1;j<=word2.size();j++)
            {
                //相等，不操作
                if(word1[i-1]==word2[j-1])
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                }
                //不相等，增删换
                else
                {
                    dp[i][j]=min(dp[i-1][j],min(dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]))+1;
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};