动态规划(2)

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• 01背包
  • 二维数组
  • 滚动数组
• 416分割等和子集
• 1049最后一块石头的重量
• 494目标和

 

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01背包

二维数组

注意：

1. 初始化
2. 遍历顺序

//二维dp数组实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, bagweight;// bagweight代表行李箱空间
void solve() {
    vector<int> weight(n, 0); // 存储每件物品所占空间
    vector<int> value(n, 0);  // 存储每件物品价值
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weight[i];
    }
    for(int j = 0; j < n; ++j) {
        cin >> value[j];
    }
    // dp数组, dp[i][j]代表行李箱空间为j的情况下,从下标为[0, i]的物品里面任意取,能达到的最大价值
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化, 因为需要用到dp[i - 1]的值
    // j < weight[0]已在上方被初始化为0
    // j >= weight[0]的值就初始化为value[0]
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历科研物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历行李箱容量
            // 如果装不下这个物品,那么就继承dp[i - 1][j]的值
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            // 如果能装下,就将值更新为 不装这个物品的最大值 和 装这个物品的最大值 中的 最大值
            // 装这个物品的最大值由容量为j - weight[i]的包任意放入序号为[0, i - 1]的最大值 + 该物品的价值构成
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    while(cin >> n >> bagweight) {
        solve();
    }
    return 0;
}

滚动数组

从后向前遍历，不能让上一个状态影响到当前状态

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

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416分割等和子集

如何转化当前问题为01背包呢？
我们设计一个背包，能存储的最大数量为nums的sum的一半，如果能存满，就说明能分割出一个等和的子集

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        int sum=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            sum+=nums[i];
        }
        if(sum%2==1)
        {
            return false;
        }
        int bag=sum/2;
        vector<int> dp(bag+1,0);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=bag;j>=nums[i];j--)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        }
        if(dp[bag]==bag)
        {
            return true;
        }
        return false;

    }
};

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1049最后一块石头的重量

和上一题类似，求出石头一半重量的最大值，再用sum-2*最大值，得到的结果就是剩下的石头的重量

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int n=stones.size();
        int sum=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            sum+=stones[i];
        }
        int bag=sum/2;
        vector<int> dp(bag+1,0);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=bag;j>=stones[i];j--)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
            }
        }
        return sum-dp[bag]*2;

    }
};

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494目标和

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        /*如何转换问题为dp？
        nums有一个总和，就拿用例来讲：
        sum=5，target=3，
        也就是我们需要找到凑出1的不同方法
        sum-2*1=3
        dp数组含义：填满空间为j的背包，有dp[j]种方法

        递推思路：凑整dp[5]有多少方法呢，假设当前dp[3]已知，nums[i]==2
        那么当前dp[5]中必然有dp[3]=dp[5-nums[i]]
        也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来
        递推公式：dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]]

        初始化：dp[0]=1
        */
        int sum=0;
        int n=nums.size();
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            sum+=nums[i];
        }
        int find2=sum-target;
        if(find2%2==1||find2<0)
        {
            return 0;
        }
        int findval=find2/2;
        vector<int> dp(findval+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=findval;j>=nums[i];j--)
            {
                dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]];
            }
        }

        return dp[findval];
    }
};