CLRS2e读书笔记—Chapter5 & Appendix C

这部分主要学习概率分析。在概率论的教程里面其实已经学过这些了…

附录C的第一部分是排列组合的基础知识；第二部分是经典概率论；第三部分是离散随机分布的一些概念（期望、方差）；第四部分介绍了两个常见的离散分布：几何分布和二项分布；最后一部分是可选内容，介绍了二项分布的尾相关的上下界。

第五章主要介绍了随机算法的写法，特别强调了均匀随机的概念，引入随机变量指示器作为一个计算期望的技巧。

内容小结：

计数：略

概率：贝叶斯公式: \[Pr\{A | B\}=\dfrac{Pr\{A\}Pr\{B|A\}}{Pr\{B\}}\]

　　　 全概率公式:Pr{B}=Pr{B|A1}+Pr{B|A2}+...+Pr{B|An}，其中Pr{A1}+...+Pr{An}=1

离散随机变量：期望与方差的公式

常见分布：几何分布，E[x]=1/p,D[x]=$q/p^2$

　　　　　 二项分布，E[x]=np,D[x]=npq

随机算法：其一是随机生成优先级，然后再优先级唯一的情况下据其对数组进行重排；

　　　　　其二是原地与其后（含自身）进行随机交换。

Exercises:

5.1-1 第4行确定了比较的可行性

5.1-2 Random(a,b)

　　　　return a+(b-a)*Random(0,1)

5.1-3 如果调用两次，那么至少返回01和10的概率都是p(1-p)，利用这一点，可以这么写：

　　　　Random

　　　　x ← BIASED_RANDOM

　　　　y ← BIASED_RANDOM

　　　　if x≠y then 

　　　　　　return x

5.2-1 1/n,1/n!

5.2-2 1/n

5.2-3 令$X_i$为第i次出现的骰子的点数，则总数是$\sum_{i=1}^nX_i$，期望就是$\sum_{i=1}^nEX_i$=3.5n

5.2-4 令事件$X_i$表示第i位客户拿回自己的帽子，指示器随机变量为I($X_i$)，则拿回帽子的总人数为$\sum_{i=0}^nI(X_i)$，而Pr{$X_i$}显然为1/n，所以最后的期望数为1。

5.2-5 挑选序列中任意一组数据A[i],A[j](j>i)，两者构成逆序对的概率是1/2，令$X_{ij}$表示事件“$A_i$与$A_j$构成逆序对，那么总的逆序对期望数目应当是

\[ E \left( \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n X_{ij} \right) = n(n-1)/4 \]

5.3-1 Randomize_In_Place'(A)

　　　 n ← length[A]

　　　 swap A[1]↔Random[1,n]

　　　 for i ← 2 to n

　　　　　do swap A[i]↔Random[i,n]

换言之，将初始条件独立出来就不会陷入题设的（莫名其妙的）窘境。

5.3-2 这段代码不能实现产生非同一排列的任意排列的产生，而只能生成所有A[i]与原序列不同的序列。缺失了A[i]部分不同的那一部分。

5.3-3 不会，可以举例证明。

5.3-4 代码构成了一个循环交换，可选位置是n个，概率显然是1/n。问题是B[dest]可能多次指向同一位置，这样序列的数目根本就不对，更别说是不是均匀随机序列了。

5.3-5 所有元素都唯一的概率应该是\[ Pr\{A\}= \dfrac{n^3 * (n^3-1) * \cdots *(n^3-n)}{n^3 * n^3 * \cdots * n^3} \]，下略【其实我没算出来= =】

5.3-6 在重新放置的过程中，如果发现优先级对应的位置已经有元素（可用辅助数组或者直接将B初始化为A中不可能存在的数值），就重新调用随机数生成函数，直至不再重复。根据概率理论，这个过程应该是收敛的，不会陷入死循环中。