多重背包 II —— 二进制优化

多重背包 II —— 二进制优化

核心思想：转换成0~1背包问题。———— 对个体拆分后全部打散，反正能够保证从全局上使得所有情况依然存在就可以了。

1. 核心思想（前提建议先把多重背包朴素版算法搞清楚）

   转换成0 ~ 1背包问题，对个体拆分后全部打散，反正能够保证从全局上使得所有情况依然存在就可以了。

2. 举例分析（以下都使用该样例）

   在选取第i种物品时，该物品有134件，二进制划分为**1，2，4，8，16，32，64，134 - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) = 7 **这几个数字，这几个数字就相当于0 ~ 1背包问题中的每种背包。

   仔细观察可知0 ~ 134内的任一数字均可由以上划分数字组合相加构成。这样即便打散后在宏观全局上仍然能够满足0~134的每种情况。

3. 字母标准化

   在选取第i种物品时，该物品有s件，二进制划分为1，2，4，8，16，······，2^k-1，2^k，s - (1 + 2 + ··· + 2^k)这几个数字，这几个数字就相当于0 ~ 1背包问题中的每种背包。

   仔细观察可知0 ~ s内的任一数字均可由以上划分数字组合相加构成。这样即便打散后在宏观全局上仍然能够满足0 ~ s的每种情况。

4. 问题（只是几个帮助理解的小问题，上面已经理解的话可自行跳过）

   1. 问：在134被划分成1，2，4，8，16，32，64后已经可以组合出7 = 1+ 2 + 4了，为什么最后面还要搞个7？

      答：现在已经转换成0 ~ 1背包来考虑问题了，那么前面1，2，4这几个数字已经被用来组合成1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127了，就已经不能再使用了。这时候要是想要再组合成134那么必然还要在127的基础上再加一个7。

   2. 问：0 ~ 127的数字都可以凑满了，134也可以凑出来了，那么128 ~ 133该怎么凑？

      答：因为上面要凑134的时候又引入了一个数字7，并且0 ~ 127不需要这个7就可以轻松凑出来的，那么就有如下：

      133 = 126 + 7;

      132 = 125 + 7;

      131 = 124 + 7;

      ········

      ········

5. 代码示例：

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   
   const int N = 11000;
   int n, m;
   int v[N], w[N], f[2010];
   
   int main(){
       scanf("%d%d", &n, &m);
       int cnt = 0;
       for(int i = 1; i <= n; i ++){
           //  v  w  s
           int a, b, s;
           scanf("%d%d%d", &a, &b, &s);
           int k = 1;
           while(k <= s){
               cnt ++;
               v[cnt] = k * a;
               w[cnt] = k * b;
               s -= k;
               k *= 2;
           }
           if(s > 0){// s只能 >0 或者 =0
               cnt ++;
               v[cnt] = s * a;
               w[cnt] = s * b;
           }
       }
       for(int i = 1; i <= cnt; i ++)
           for(int j = m; j >= v[i]; j --){
               f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
           }
       printf("%d", f[m]);
       return 0;
   }