多重背包问题I

多重背包问题 I

1. 问题描述：

   有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

   第 ii 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

   求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
   输出最大价值。

2. 跟前面的背包问题解题思路差不多，相比较于完全背包问题多出的限制条件是这里同一种物品的数量有所限制。推导式：

   F[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i], ·····, f[i - 1][ j - s*v[i]] + s*w[i])

3. 代码示例（纯暴力版动态规划）：

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   
   const int N = 1010;
   int f[N][N], v[N], w[N], s[N], n, m;
   
   int main(){
   
       scanf("%d%d", &n, &m);
   
       for(int i = 1; i <= n; i ++) 
           scanf("%d%d%d", v + i, w + i, s + i);
   
       for(int i = 1; i <= n; i ++)
           for(int j = 1; j <= m; j ++)
               for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++)
                   f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);// f[i][j]储存的是已类举情况中的最大值，所以max的第一个参数是f[i][j]，f[i-1][j]未必是上一次循环结果的最大值，所以不能用f[i-1][j]
   
   
       printf("%d", f[n][m]);
       return 0;
   
   }
   
   

4. 优化为一维数组后：

   f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i], ······, f[j - s * v[i]] + s * w[i])

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   
   const int N = 1010;
   int f[N], v[N], w[N], s[N], n, m;
   
   int main(){
       scanf("%d%d", &n, &m);
       for(int i = 1; i <= n; i ++) 
           scanf("%d%d%d", v + i, w + i, s + i);
       for(int i = 1; i <= n; i ++)
           for(int j = m; j >= v[i]; j --)
               for(int k = 1; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++)
                   f[j] = max(f[j], f[j - k * v[i]] + k * w[i]);
   
       printf("%d", f[m]);
       return 0;
   }