完全背包问题——动态规划

完全背包问题

1. 问题描述：

   有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

   第 i 种物品的体积是 v_i，价值是 w_i。

   求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

   输出最大价值。

2. 动态规划解法：

   设F[i][j]表示只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值是多少（与0~1背包表示意义一样）。先做出如下推导：

   在计算状态i，j的值F[i][j]时，即在体积不超过j的情况下选择第i件物品时，除了要考虑前一状态F[i-1][j]（在j的情况下只考虑前i-1件物品）外，还要考虑放置1件i物品、放置2件i物品·····放置k件i物品、直至放满为止这一类大情况。故结果有：

   F[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v] + w, ····, f[i-1][j-kv] + kw) 1

   据此另外可以推得如下：

   F[i][j-v] = max(f[i-1][j-v], f[i-1][j-2v] + w, ····, f[i-1][j-(k+1)v] + kw) 2

   仔细观察1、2式可得，1中max内的右半部分比2式多出一个w，故可用2式+w来代替。即F[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-v] + w);

3. 代码示例：

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
    
   const int N = 1010;
   int f[N][N], n, m, v[N], w[N];
    
   int main(){
       scanf("%d%d", &n, &m);
       for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d%d", v + i, w + i);
    
       for(int i = 1; i <= n; i ++)
           for(int j = 1; j <= m; j ++){
               f[i][j] = f[i-1][j];
               if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
           }
       
       printf("%d", f[n][m]);
       return 0;
   }

4. 优化后：（优化后在具体理解方式上还是要按照二维数组的思路来）

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
    
   const int N = 1010;
   int f[N], n, m, v[N], w[N];
    
   int main(){
       scanf("%d%d", &n, &m);
       for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d%d", v + i, w + i);
       for(int i = 1; i <= n; i ++)
           for(int j = v[i]; j <= m; j ++)
               f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
       
       printf("%d", f[m]);
       return 0;
   }

5. 0~1背包与完全背包对比：

   0~1背包：取左边状态和左上（不严格左上）状态的最大值。

   完全背包：取左边状态和正上面（不一定相邻的上面）状态的最大值。