0~1背包 —— 动态规划

0~1背包 —— 动态规划

1. 问题描述：

   给定n个物品和一背包。物品i的体积vi，其价值为wi，背包的最大容量为V。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

2. 动态规划解法：

   设F[i][j]表示只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值是多少

   result = max(F[n][0~V])

   现在开始逐个求F[i][j]:

   对于F[i][j]而言一共存在两种情况，即选择当前第i个物品和不选择当前的第i个物品。故有以下 ：

   1. 不选择第i个物品时，F[i][j] = F[i - 1][j]
   2. 选择第i个物品时，F[i][j] = F[i - 1][j - v[i]] + w[i]

   所以最终结果就是F[i][j] = max

3. 代码示例：

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   
   const int N = 1010;
   int n, V, v[N], w[N], W, f[N][N];
   
   int main(){
       scanf("%d%d", &n, &V);
       f[0][0] = 0;
       for(int i = 1; i <= n; i ++){
           scanf("%d%d", v + i, w + i);
       }
       for(int i = 1; i <= n; i ++){
           for(int j = 0; j <= V; j ++){
               f[i][j] = f[i - 1][j];
               if(j >= v[i]) // 这段稍微注意理解实现的巧妙之处
                   f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
           }
       }
       printf("%d", f[n][V]);
       return 0;
   }
   
   

4. 优化后的代码：（优化后在具体理解方式上还是要按照二维数组的思路来）

   #include<bits/stdc++.h>
   using namespace std;
   
   const int N = 1010;
   int n, V, v[N], w[N], W, f[N]; // f[N]里面N是背包的体积
   
   int main(){
       scanf("%d%d", &n, &V);
       
       for(int i = 1; i <= n; i ++){
           scanf("%d%d", v + i, w + i);
       }
       for(int i = 1; i <= n; i ++)
           for(int j = V; j >= v[i]; j--) // !1
           	f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); // !2
       
       printf("%d", f[V]);
       return 0;
   }
   
   

   注意：!1 处的循环为什么是从大到小的呢？

   在 !2 处有一个j - v[i]，假如我的循环从小到大进行的话，那么在循环的过程中j - v[i]很可能会等于前面一个处理过的F[j]，更新的过程中F[j-v[i]]可能会大于初始的F[j]。如果从大到小更新，在每次的大循环中j-v[i]都不会被提前更新。