求逆元

一篇对逆元不错的讲解https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787

逆元：对于a和p（a和p互素），若a*b%p≡1，则称b为a%p的逆元

(1)用扩展欧几里得求逆元

时间复杂度为O(log n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ios1 std::ios::sync_with_stdio(false)
#define ios2 std::cin.tie(0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long


ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll gcd = ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y  -= a/b * x;
    return gcd;
}

int main()
{
    ll a, m, x, y;
    scanf("%lld%lld", &a, &m);//求a对m的逆元
    if(ex_gcd(a, m, x, y) == 1) printf("%lld\n",(x%m+m)%m);
    else printf("0\n");
    return 0;
}

(2)用费马小定理求逆元

时间复杂度为O(log n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ios1 std::ios::sync_with_stdio(false)
#define ios2 std::cin.tie(0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long

ll qpow(ll a, ll b, ll m)//快速幂
{
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b > 0)
    {
        if(b & 1)
           ans = (ans * a) % m;
        a = a * a % m;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll Fermat(ll a, ll p)//前提p是质数
{
    return qpow(a,p-2,p);
}

int main() {
    ll a, m, i;
    scanf("%lld%lld", &a, &m);
    printf("%lld\n", Fermat(a, m));
    return 0;
}

(3)由于前两种都有局限性,所以有一种通用的方法求逆元

求现在来看一个逆元最常见问题，求如下表达式的值（已知）

           

当然这个经典的问题有很多方法，最常见的就是扩展欧几里得，如果是素数，还可以用费马小定理。

但是你会发现费马小定理和扩展欧几里得算法求逆元是有局限性的，它们都会要求与互素。实际上我们还有一

种通用的求逆元方法，适合所有情况。公式如下

          

 

现在我们来证明它，已知，证明步骤如下

          

(4)线性求逆元

其实有些题需要用到模的所有逆元，这里为奇质数。那么如果用快速幂求时间复杂度为，

如果对于一个1000000级别的素数，这样做的时间复杂度是很高了。实际上有的算法，有一个递推式如下

                   

 

它的推导过程如下，设，那么

       

 

对上式两边同时除，进一步得到

       

 

再把和替换掉，最终得到

       

 

初始化，这样就可以通过递推法求出模素数的所有逆元了。

另外模的所有逆元值对应中所有的数，比如，那么对应的逆元是。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ios1 std::ios::sync_with_stdio(false)
#define ios2 std::cin.tie(0)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
const ll maxn = 4e6 + 10;
ll inv[maxn];

int main()
{
    ll n,m,i;
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    inv[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=(m-m/i)*inv[m%i]%m;
    for(i = 1; i <= n; i++){
        printf("%lld\n", inv[i]);
    }
    return 0;
}