2020.07.25 周作业简要题解

\[\huge\text{UVA11401} \]

题意

\(n\) 根木棍，长度为 \(1,2,...,n\)。用其中三条边构成一个三角形，求方案数。

题解

容易观察到答案的递推公式：

• \(f_i = 0\)（当 \(i = 1\)）
• \(f_i = f_{i-1} + k \times (k-1)\)（当 \(i = 2k\)）
• \(f_i = f_{i-1} + k \times k\)（当 \(i = 2k+1\)）

\[\huge\text{UVA11806} \]

题意

你有一个 \(n \times m\) 的网格图，现在你要将 \(k\) 个人放在网格中，满足：

• 网格图的四个边都至少有一个人。

• 每个格子上不能有两个人。

• 每个人必须都有位置。

答案对 \(10^6+7\) 取模。

题解

简单容斥。

定义 \(A,B,C,D\)为 第一行 / 最后一行 / 第一列 / 最后一列 没有人的方案，则答案为（\(C_{n \times m}^{k}\) - \(A \cap B \cap C \cap D\)）。

\[\huge\text{UVA1635} \]

题意

给定数列 \(a(|a|=n)\)，依次计算相邻两数之和得到一个新数列，重复操作，直到数列仅剩一个数。

求这个数除以给定值 \(m\) 的余数与哪些数无关。

题解

容易观察到原数列中每个数被加的次数是杨辉三角的第 \(n\) 列。

将 \(m\) 分解质因数，依次维护 \(C_{n}^{x}\) 是否被 \(m\) 整除即可。可以使用公式：\(C_{n}^{i}=C_{n}^{i-1} \times \dfrac{(n - i+1)}{i}\)。

\[\huge\text{UVA1262} \]

题意

给你两个 \(6\)行 \(5\) 列的矩阵，要求你从这之中找出密码，找密码的规则：密码中左数第 \(i\) 个字母，必须在两个矩阵左数第 \(i\) 列中均出现。密码长度为 \(5\)。

题解

求出字典序最小的密码，依次迭代即可。与组合数无关。

\[\huge\text{UVA580} \]

题意

求长为 \(n\) 的 \(01\) 序列中有多少个满足：至少有 \(3\) 个连续的 \(1\)。

题解

设 \(f_i\) 表示长为 \(i\) 时的方案数，分类讨论：

• 除去新加入的第 \(i\) 个，序列中已经有 \(3\) 个连续的 \(1\) 的方案数：\(f_{i-1} \times 2\)
• 除去新加入的第 \(i\) 个，序列中没有 \(3\) 个连续的 \(1\) 的方案数：\(2^{i-1} - f_{i-4}\)

那么，\(f_i = f_{i-1} \times 2 + 2^{i-1} - f_{i-4}\)。边界：\(f_3 = 1\)。

\[\huge\text{UVA1638} \]

题意

有 \(n\) 根长度为 \(1\) 到 \(n\) 的棍子排列在一起，求从左边看能看见 \(l\) 根，从右边看能看见 \(r\) 根的方案数。

题解

考虑每次放入高度最小的杆子。

设 \(f_{i,l,r}\)，状态意义如题意，则 \(f_{i,l,r}\) 可以从以下几种状态转移而来：

• \(f_{i-1,l,r} \times (i-2)\) —— 只要不放在左侧和右侧，就看不见这根杆子

• \(f_{i-1,l-1,r}\) \(f_{i-1,l,r-1}\) —— 放在左侧 / 右侧

\[\huge\text{UVA11538} \]

待补。

\[\huge\text{UVA1645} \]

题意

求有 \(n\) 个节点且满足深度相同的节点子树大小相同的树的数量。

题解

定义 \(f_i\)，状态意义如题意。

考虑新加入一个根，剩下的 \(i-1\) 个节点由若干个相同形态的子树构成，则有：

\[f_i = \sum \limits_{j | (i-1)} f_j \]

\[\huge\text{UVA1646} \]

题意

求 \(n\) 个节点的环上没有公共点的边集个数。

题解

对于一条 \(n\) 个节点的链上的方案数 \(f_n\)，考虑最后一条边，如果选择它，那么这条边的两个顶点都不能选，有 \(f_{n-2}\) 种方案；如果不选择它，和 \(n-1\) 个节点时一样，有 \(f_{n-1}\) 种方案。

于是我们得到 \(f\) 的转移方程：

\[f_{n} = f_{n-2} + f_{n-1} \]

即 Fibonacci 数列。

在计算答案时，使用相同的套路，分类讨论是否选择环上的一条边 \(x\)。如果选择了 \(x\)，则有 \(f_{n-2}\) 种方案。如果不选择，那么相当于组成了一条长度为 \(n\) 的链，方案为 \(f_{n}\)。

\[ans = f_n + f_{n-2} \]

当然，OEIS 可以发现答案为 Lucas 数列，但和题目无关，不再阐述。

\[\huge\text{UVA1649} \]

题意

求所有的对 \((n,k)\)，使得 \(C_{n}^{k} = m\)。

题解

只考虑 \(n \geq 2 \times k\)，因为 \(C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}\)，\(n < 2 \times k\) 的情况可以顺便求出。

考虑枚举 \(k\)，二分 \(n\)。\(C_{2 \times k}^{k}\) 增长速度极快，所以可以通过非常短的时间计算出答案。

\[\huge\text{UVA12063} \]

题意

求满足以下条件，长为 \(n\) 的 \(01\) 串的数量：

• 第一位为 \(1\)
• 该串对应的十进制数被 \(k\) 整除
• \(0\) 和 \(1\) 的数量相等

题解

数位 DP。

设 \(F_{i,j,mod}\) 表示有 \(i\) 个 \(0\) \(j\) 个 \(1\) 目前 \(\mod k = mod\) 的方案数。

显然每一步仅两种决策，记忆化搜索转移即可。由于先枚举的是高位，所以设这一步选择的是 \(x(x \in {0,1})\)，那么下一步到达的状态应该是 \(F_{i+[x=0],j+[x=1],mod \times 2 + x}\)。