20201009day30 复习3:数位dp
LGP2657 [SCOI2009]windy数
problem
求\([a,b]\)之间“\(A\)数”的个数。
一个数被称为“\(A\)数”,当且仅当它不含前导零且相邻两个数字之差至少为2.
\(1\le a \le b \le 2\times 10^9\)
solution
只需要规定函数work(x)
求\([1,x]\)内所有的“\(A\)数”的个数,前缀和就好。
数位dp
设\(dp_{i,j}\)表示长度为\(i\)中最高位是\(j\)的“\(A\)数”
方程:
\[dp_{i,j}=\sum_{|j-k|\ge 2}^{k\in[0,9],k\in \mathbb Z} dp_{i-1,k}
\]
初始值:
\[dp_{1,i}=1(i\in[0,9],i\in\mathbb Z)
\]
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//设dp[i][j]为长度为i中最高位是j的windy数的个数
//方程 dp[i][j]=sum(dp[i-1][k]) 其中 abs(j-k)>=2
int p,q,dp[15][15],a[15];
void init()
{
for(int i=0;i<=9;i++) dp[1][i]=1; //0,1,2,3,4...9都属于windy数
for(int i=2;i<=10;i++)
{
for(int j=0;j<=9;j++)
{
for(int k=0;k<=9;k++)
{
if(abs(j-k)>=2) dp[i][j]+=dp[i-1][k];
}
}
}//从第二位开始 每次枚举最高位j 并找到k 使得j-k>=2
}
int work(int x) //计算<=x的windy数
{
memset(a,0,sizeof(a));
int len=0,ans=0;
while(x)
{
a[++len]=x%10;
x/=10;
}
//分为几个板块 先求len-1位的windy数 必定包含在区间里的
for(int i=1;i<=len-1;i++)
{
for(int j=1;j<=9;j++)
{
ans+=dp[i][j];
}
}
//然后是len位 但最高位<a[len]的windy数 也包含在区间里
for(int i=1;i<a[len];i++)
{
ans+=dp[len][i];
}
//接着是len位 最高位与原数相同的 最难搞的一部分
for(int i=len-1;i>=1;i--)
{
//i从最高位后开始枚举
for(int j=0;j<=a[i]-1;j++)
{
//j是i位上的数
if(abs(j-a[i+1])>=2) ans+=dp[i][j]; //判断和上一位(i+1)相差2以上
//如果是 ans就累加
}
if(abs(a[i+1]-a[i])<2) break;
// if(i==1) ans+=1;
}
return ans;
}
int main()
{
init();
cin>>p>>q;
cout<<work(q+1)-work(p)<<endl;
return 0;
}
要做就做南波万