20200920 day15 模拟（三）

1

一个不成熟的想法

\[E=\dfrac{ \sum\limits_{x\in B} x\sum\limits_{i=2}^n\left(\dfrac{i-1}{i} \right)} {n} \]

预处理\(\sum\limits_{x\in B}x\)，分数模拟。（会炸！哭了....但是我觉得具有正确性）

考察集合\(A=\{0\},B=\{x_1,x_2,...,x_n\}\)

先模拟\(n=3\)

则：

第一种情况：$\text{ans}=\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{x_1+x_3}{3}+\dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

第二种情况：$\text{ans}=\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{x_1+x_2}{3}+\dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

第三种情况：$\text{ans}=\dfrac{x_2}{2}+\dfrac{x_2+x_3}{3}+\dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

第四种情况：$\text{ans}=\dfrac{x_2}{2}+\dfrac{x_1+x_2}{3}+\dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

第五种情况：$\text{ans}=\dfrac{x_3}{2}+\dfrac{x_3+x_2}{3}+\dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

第六种情况：$\text{ans}=\dfrac{x_3}{2}+\dfrac{x_1+x_3}{3}+\dfrac{x_1+x_2+x_3}{4} $

总：\(\text{ans} _ 6=2\times \dfrac{x_1+x_2+x_3}{2}+4\times \dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}+6\times \dfrac{x_1+x_2+x_3}{4}\)

推算过程如下：

\[\text{ANS}=\left[ \left( \dfrac{x_1+...+x_n}{2} \right)\times \dfrac{n!}{n}+\left( \dfrac{x_1+...+x_n}{3} \right)\times \dfrac{2n!}{n}+...\right]\times \dfrac{1}{n!} \]

经化简整理可得前述答案

2

考虑最优操作到底是什么样的

假设只有两个发生器，那么如果放弃第一个选用第二个，第二个发生器产生的数的期望是\(Y=\dfrac{L_2+R_2}{2}\)。不难想到如果第一个发生器产生了\(X\)，\(X<Y\)时放弃\(X\)更优，否则拿走\(X\)更优。

更一般的，假设当前在使用第\(i\)个发生器，其产生了\(X\)，设其从第\(i+1\)个发生器开始游戏得到的最优答案是\(f_{i+1}\)，那么比较\(X,f_{i+1}\)的大小关系就可以确定是否拿走\(X\)，那么\(f_i\)的计算就是一个一次函数的积分，进行加权平均数（是人话吗是人话吗）。

复杂度\(O(n)\)。