组合#

$\binom{n}{m} = \binom{n}{n - m}$。这个玩意可以化腐朽为神奇，比如说你可以搞完这个用范德蒙德卷积，详见：Solution - Beautiful Bracket Sequence (hard version)。

$\binom{n}{m} = \binom{n - 1}{m} + \binom{n - 1}{m - 1}$。这两个都很基础。

$\binom{n}{m}\binom{m}{k} = \binom{n}{k}\binom{n - k}{m - k}$。组合意义。

二项式定理：$(x + y) ^ n = \sum\limits_{i = 0} ^ n \binom{n}{i} x ^ i y ^ {n - i}$。记住这个形式。

$m\binom{n}{m} = n\binom{n - 1}{m - 1}$。可以操作系数变换。

$\sum\limits_{i = 0} ^ n i\binom{n}{i} = n2 ^ {n - 1}$。可以求导解释。

$\sum\limits_{i = 0} ^ n \binom{i}{k} = \binom{n + 1}{k + 1}$。把 $\binom{k}{k}$ 换成 $\binom{k + 1}{k + 1}$ 就可以一直加出来了。

扩展：$\sum\limits_{i = 0} ^ n \binom{i}{s}\binom{n - i}{t} = \binom{n + 1}{s + t + 1}$。组合意义：在 $n + 1$ 个里面选 $s + t + 1$ 个，第 $s + 1$ 个前面有 $s$ ge

范德蒙德卷积：$\sum\limits_{i = 0} ^ k \binom{n}{i} \binom{m}{k - i} = \binom{n + m}{k}$。直接组合意义 $n$ 和 $m$ 个里选 $k$ 个 / 二项式卷积。

$\sum\limits_{i = 0} ^ n \binom{n}{i} \binom{i}{k} = \sum\limits_{i = 0} ^ n \binom{n}{k} \binom{n - k}{i - k} = \binom{n}{k} 2 ^ {n - k}$。

二项式反演#

老东西。然后证明方法大概就是直接代入？所以就直接写结论。

主要两种形式。这样观察出来应该更好死记硬背。

$f_i$ 为至少 $i$ 个元素，$g_i$ 为恰好 $i$ 个元素。

$f_i$ 为至多 $i$ 个元素，$g_i$ 为恰好 $i$ 个元素。