4. Median of Two Sorted Arrays

description:

有两个排好顺序的数组，且数组大小已知，找这两个数组（合并后）的中位数。

要求时间复杂度不超过O(log(m+n)).两数组不同时为空.

 

thought and method:

binary-search 利用二分查找的思想来降低时间复杂度

 

 

solution:

分析：我们假设这两个数组分别为num1和nums2,大小分别为m,n.

我们知道中位数的定义：

当数的个数为奇数时，其为最中间的那个.

例如对nums1:median=nums1[(m+1)/2]; 

当数的个数为偶数时，其为中间两数的算法平均数.

例如对nums2:median=(nums2[n/2]+nums2[n/2+1])/2.

现在对两个排列好的数组我们怎样做来求其中位数呢？

很自然的可以想到将两个数组和为一个数组，然后转化为一个数组求中位数的问题，但显然这样不能满足题目对时间复杂度的要求。

那么，该怎么做呢？

我们已经知道中位数是最中间的数 其实它把数组按大小分为了两部分：

由此得到启发：可以倒着找一个数，使得它满足中位数的要求。

事实上，无论这个数在数组nums1中还是在nums2中或是某两数的平均数，都会把两个数组分别分成两部分，基于这一点，我们可以通过找两数组的索引 index来实现——不妨定义为i,j

                        left                                                                  right

nums1[0]  nums1[1] …nums1[i-1]      nums1[i]    nums1[i+1]…nums1[m-1]

nums2[0]  nums2[1] …nums2[j-1]      nums2[j]    nums2[j+1]…nums2[n-1]

首先 要满足  len（left）==len（right）  即：i+j==m+n-i-j     j=(m+n)/2-i

这里有一点小疑问：如果m+n为奇数呢？上述条件显然不能满足！莫急！！

事实上，若m+n为奇数，可以令len(left)=len(right)+1    后面会意识到可以统一处理这两种情况。

奇数时，i+j=m-i+n-j+1     j=(m+n+1)/2-i   我们意识到这并不影响j的取值 

所以不妨令j=(m+n+1)/2-i 

其次 还必须满足 max(left)<=min(right)

则   median=(max(left)+min(right))/2

最后呢还要防止数组越界哦

下面结合伪代码讲述二分搜索的思路：

set imin=0,imax=m,

for i=(imin+imax)/2,j=(m+n+1)/2-i //which make sure the first  condition

if（nums2[j-1]<=nums1[i] and nums1[i-1]<=nums2[j]）

means the i is suitable stop

elif nums2[j-1]>nums1[i]

means i is too small   we need to increase i 

elif nums1[i-1]>nums2[j]

means i is too big  we need to decrease i

after the loop 

if  m+n is odd  then:

        median=max(left)

if  m+n is even then:

         median=(max(left)+min(right))/2

以下是C++ solution:

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
        int m = A.length;
        int n = B.length;
        if (m > n) { 
            return findMedianSortedArrays(B,A); // 保证 m <= n
        }
        int iMin = 0, iMax = m;
        while (iMin <= iMax) {
            int i = (iMin + iMax) / 2;
            int j = (m + n + 1) / 2 - i;
            if (j != 0 && i != m && B[j-1] > A[i]){ // i 需要增大
                iMin = i + 1; 
            }
            else if (i != 0 && j != n && A[i-1] > B[j]) { // i 需要减小
                iMax = i - 1; 
            }
            else { // 达到要求，并且将边界条件列出来单独考虑
                int maxLeft = 0;
                if (i == 0) { maxLeft = B[j-1]; }
                else if (j == 0) { maxLeft = A[i-1]; }
                else { maxLeft = Math.max(A[i-1], B[j-1]); }
                if ( (m + n) % 2 == 1 ) { return maxLeft; }
                             // 奇数的话不需要考虑右半部分

                int minRight = 0;
                if (i == m) { minRight = B[j]; }
                else if (j == n) { minRight = A[i]; }
                else { minRight = Math.min(B[j], A[i]); }

                return (maxLeft + minRight) / 2.0; //如果是偶数的话返回结果
            }
        }
        return 0.0;
    }
}

参考链接：

https://leetcode.wang/leetCode-4-Median-of-Two-Sorted-Arrays.html

这个人讲的比较透彻感觉受益匪浅！