平衡二叉树(AVL)
看一个案例
给你一个数列{1,2,3,4,5,6},要求创建一棵二叉排序树(BST),并分析问题所在.
- 左子树全部为空,从形式上看,更像一个单链表
- 插入速度没有影响
- 查询速度明显降低(因为需要依次比较),不能发挥BST的优势,因为每次还需要比较左子树,其查询速度比单链表还慢
- 解决方案-平衡二叉树(AVL)
基本介绍
- 平衡二叉树也叫二叉搜索树又被称为AVL树,可以保证查询效率较高.
- 具有以下特点:它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树.平衡二叉树的常用实现方法有红黑树,AVL,替罪羊树,Treap,伸展树等.
- 举例说明,看看下面哪些是AVL树.
应用案例-单旋转(左旋转)
- 要求:给你一个数列,创建出对应的平衡二叉树.数列
- 思路分析(示意图)
//左旋转 当rightHeight - leftHeight >1 时,进行左旋转
public void leftRotate() {
//1.创建一个新的节点,值等于当前根节点
Node newNode = new Node(val);
//2.把新节点的左子树设置为根节点的左子树
newNode.left = this.left;
//3.把新节点的右子树,设置为根节点的右子树的左子树
newNode.right = this.right.left;
//4.把根节点右子节点的值赋给根节点
this.val = this.right.val;
//5.根节点的右子树设置为右子树的右子树
this.right =right.right;
//6.根节点的左子树为新节点
this.left = newNode;
}
应用案例-单旋转(右旋转)
- 要求:给你一个数列,创建出对应的平衡二叉树.数列
- 思路分析(示意图)
//右旋转 leftHeight - rightHeight > 1
public void rightRotate(){
//1.创建一个新的节点,值等于当前根节点
Node newNode = new Node(val);
//2.新节点的右子树为根节点的右子树
newNode.right = right;
//3.新节点的左子树为根节点左子树的右子树
newNode.left = left.right;
//4.把根节点左子树的值赋给根节点
this.val = left.val;
//5.根节点的左子节点为左子节点的左子节点
left = left.left;
//6.根节点的右子节点为新节点
right = newNode;
}
左右旋转代码
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
// int[] arr = {4, 3, 6, 5, 7, 8};
int[] arr = {10,12, 8, 9, 7, 6};
AVLTree avlTree = new AVLTree();
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
avlTree.addNode(new Node(arr[i]));
}
//中序遍历
avlTree.midOrder();
//打印根节点
System.out.println("根节点为:" + avlTree.getRoot());
System.out.println("树高为:" + avlTree.height());
System.out.println("左子树高:" + avlTree.leftHeight());
System.out.println("右子树高:" + avlTree.rightHeight());
}
}
//平衡二叉树
class AVLTree {
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
//添加节点
public void addNode(Node node) {
if (root == null) {
root = node;
} else {
root.addNode(node);
}
}
//中序遍历
public void midOrder() {
if (root == null) {
System.out.println("平衡二叉树为空");
} else {
root.midOrder();
}
}
//计算树高
public int height() {
if (root == null) {
return 0;
} else {
return root.height();
}
}
public int leftHeight() {
if (root == null) {
return 0;
} else {
return root.leftHeight();
}
}
public int rightHeight() {
if (root == null) {
return 0;
} else {
return root.rightHeight();
}
}
}
//节点
class Node {
int val;
Node left;
Node right;
public Node(int val) {
this.val = val;
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"val=" + val +
'}';
}
//添加节点
public void addNode(Node node) {
if (val > node.val) {
if (left == null) {
left = node;
} else {
left.addNode(node);
}
} else {
if (right == null) {
right = node;
} else {
right.addNode(node);
}
}
if (this.rightHeight() - this.leftHeight() >1){
leftRotate();
}
if (this.leftHeight() - this.rightHeight() >1){
rightRotate();
}
}
//中序遍历
public void midOrder() {
if (this.left != null) {
this.left.midOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right != null) {
this.right.midOrder();
}
}
//计算以该节点为根节点的树的高度
public int height() {
if (left == null && right == null) {
return 1;
}
int ld = 0;
int rd = 0;
if (left != null) {
ld = left.height();
}
if (right != null) {
rd = right.height();
}
return Math.max(ld, rd) + 1;
}
//计算左子树高度
public int leftHeight() {
if (left == null) {
return 0;
} else {
return left.height();
}
}
//计算右子树高度
public int rightHeight() {
if (right == null) {
return 0;
} else {
return right.height();
}
}
//左旋转 当rightHeight - leftHeight >1 时,进行左旋转
public void leftRotate() {
//1.创建一个新的节点,值等于当前根节点
Node newNode = new Node(val);
//2.把新节点的左子树设置为根节点的左子树
newNode.left = this.left;
//3.把新节点的右子树,设置为根节点的右子树的左子树
newNode.right = this.right.left;
//4.把根节点右子节点的值赋给根节点
this.val = this.right.val;
//5.根节点的右子树设置为右子树的右子树
this.right =right.right;
//6.根节点的左子树为新节点
this.left = newNode;
}
//右旋转 leftHeight - rightHeight > 1
public void rightRotate(){
//1.创建一个新的节点,值等于当前根节点
Node newNode = new Node(val);
//2.新节点的右子树为根节点的右子树
newNode.right = right;
//3.新节点的左子树为根节点左子树的右子树
newNode.left = left.right;
//4.把根节点左子树的值赋给根节点
this.val = left.val;
//5.根节点的左子节点为左子节点的左子节点
left = left.left;
//6.根节点的右子节点为新节点
right = newNode;
}
}
应用案例 -双旋转
前面的两个数列,进行单旋转(即一次旋转)就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树,但在某些情况下,单旋转不能完成平衡二叉树的转换.比如数列{10,11,7,6,8,9} {2,1,6,5,7,3}
解决思路
- 当符合右旋转的条件时:
- 如果它的左子节点的右子树高度大于它的左子树高度,先对当前节点的左节点进行左旋转,再对当前节点进行右旋转.
- 否则直接进行右旋转
- 当符合左旋转的条件时:
- 如果它的右子节点的左子树高度大于它的右子树高度,先对当前节点的右子节点进行右旋转,再对当前节点进行左旋转.
- 否则直接进行左旋转
完整代码如下
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
// int[] arr = {4, 3, 6, 5, 7, 8};
// int[] arr = {10,12, 8, 9, 7, 6};
int[] arr = {10, 11, 7, 6, 8, 9};
AVLTree avlTree = new AVLTree();
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
avlTree.addNode(new Node(arr[i]));
}
//中序遍历
avlTree.midOrder();
//打印根节点
System.out.println("根节点为:" + avlTree.getRoot());
System.out.println("树高为:" + avlTree.height());
System.out.println("左子树高:" + avlTree.leftHeight());
System.out.println("右子树高:" + avlTree.rightHeight());
}
}
//平衡二叉树
class AVLTree {
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
//添加节点
public void addNode(Node node) {
if (root == null) {
root = node;
} else {
root.addNode(node);
}
}
//中序遍历
public void midOrder() {
if (root == null) {
System.out.println("平衡二叉树为空");
} else {
root.midOrder();
}
}
//计算树高
public int height() {
if (root == null) {
return 0;
} else {
return root.height();
}
}
public int leftHeight() {
if (root == null) {
return 0;
} else {
return root.leftHeight();
}
}
public int rightHeight() {
if (root == null) {
return 0;
} else {
return root.rightHeight();
}
}
}
//节点
class Node {
int val;
Node left;
Node right;
public Node(int val) {
this.val = val;
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"val=" + val +
'}';
}
//添加节点
public void addNode(Node node) {
if (val > node.val) {
if (left == null) {
left = node;
} else {
left.addNode(node);
}
} else {
if (right == null) {
right = node;
} else {
right.addNode(node);
}
}
//当添加完一个结点后，如果: (右子树的高度-左子树的高度) > 1 , 左旋转
if (this.rightHeight() - this.leftHeight() > 1) {
//如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度
if (this.right != null && this.right.leftHeight() > this.right.rightHeight()) {
//先对右子结点进行右旋转
this.right.rightRotate();
//然后在对当前结点进行左旋转
leftRotate();
} else {
//直接进行左旋转即可
leftRotate();
}
return; //非常重要
}
//当添加完一个结点后，如果 (左子树的高度 - 右子树的高度) > 1, 右旋转
if (this.leftHeight() - this.rightHeight() > 1) {
//如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
if (this.left != null && this.left.rightHeight() > this.left.leftHeight()) {
//先对当前结点的左结点(左子树)->左旋转
this.left.leftRotate();
//再对当前结点进行右旋转
this.rightRotate();
} else {
//直接进行右旋转即可
this.rightRotate();
}
}
}
//中序遍历
public void midOrder() {
if (this.left != null) {
this.left.midOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right != null) {
this.right.midOrder();
}
}
//计算以该节点为根节点的树的高度
public int height() {
if (left == null && right == null) {
return 1;
}
int ld = 0;
int rd = 0;
if (left != null) {
ld = left.height();
}
if (right != null) {
rd = right.height();
}
return Math.max(ld, rd) + 1;
}
//计算左子树高度
public int leftHeight() {
if (left == null) {
return 0;
} else {
return left.height();
}
}
//计算右子树高度
public int rightHeight() {
if (right == null) {
return 0;
} else {
return right.height();
}
}
//左旋转 当rightHeight - leftHeight >1 时,进行左旋转
public void leftRotate() {
//1.创建一个新的节点,值等于当前根节点
Node newNode = new Node(val);
//2.把新节点的左子树设置为根节点的左子树
newNode.left = this.left;
//3.把新节点的右子树,设置为根节点的右子树的左子树
newNode.right = this.right.left;
//4.把根节点右子节点的值赋给根节点
this.val = this.right.val;
//5.根节点的右子树设置为右子树的右子树
this.right = right.right;
//6.根节点的左子树为新节点
this.left = newNode;
}
//右旋转 leftHeight - rightHeight > 1
public void rightRotate() {
//1.创建一个新的节点,值等于当前根节点
Node newNode = new Node(val);
//2.新节点的右子树为根节点的右子树
newNode.right = right;
//3.新节点的左子树为根节点左子树的右子树
newNode.left = left.right;
//4.把根节点左子树的值赋给根节点
this.val = left.val;
//5.根节点的左子节点为左子节点的左子节点
left = left.left;
//6.根节点的右子节点为新节点
right = newNode;
}
}
