世界观扩大之——自指

与本文无关的注：ZFC公理集合论系统(ZFC axiomatic set theo- ry system)一种近代公理集合论系统.它是第一个公理集合论系统，由德国数学家策梅洛(Zermelo , E. F. F.)于1908年建立，后经德国学者弗伦克尔 (Fraenkel , A. A.)和挪威数学家斯科朗(Skolem , A. T.)的改进逐步形成现行的ZFC系统.

ZFC系统中有下列10条非逻辑的集合论公理:即外延公理、对偶公理、空集公理、子集公理、并集公理、幂集公理、无穷性公理、选择公理、替换公理和正则公理.

应当指出，这些公理并不是全都彼此独立的，并且有些公理是公理模式，因而是无穷多条公理.其中替换公理是由弗伦克尔和斯科朗提出来的，而正则公理是由美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼(von Neumann,J. ) 提出的，其作用是在系统中排除那些不正常的集，如本身分子集等，由此而有效地避免了悖论在ZFC系统中的出现.ZFC公理集合论系统与其他公理集合论系统相比较，显得较为自然、直观和使用方便，因而被普遍采用为经典数学的理论基础.ZFC系统中已经有效地排除了已被发现的悖论的出现，并且迄今未发现有新的悖论出现，但也没有从理论上直接证明永远不可能出现悖论。

 

转载正文：

由自指引发的悖论 

古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 

本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。这是第一部份:由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论 

（一）由自指引发的悖论 

以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题:如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。 

1－1 谎言者悖论 


公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（epimenides）:“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。 

《圣经》里曾经提到:“有克利特人中的一个本地中先知说:‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。 

人们会问:艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是: 


1－2 “我在说谎” 

如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版: 

1－3 “这句话是错的” 

这类悖论的一个标准形式是:如果事件a发生，则推导出非a，非a发生则推导出a，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。 

哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。” 

他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:“那个说谎的人说:‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” （同上） 

罗素试图用命题分层的办法来解决:“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上） 

《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。 

接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。 


1－4 理发师悖论 


在萨维尔村，理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他:“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。 

这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。 

因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。 

1－5 集合论悖论 

“r是所有不包含自身的集合的集合。” 

人们同样会问:“r包含不包含r自身？”如果不包含，由r的定义，r应属于r。如果r包含自身的话，r又不属于r。 

继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔（Kurt Godel ，1906－1978，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出:任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。 

1－6 书目悖论 

一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？ 

这个悖论与理发师悖论基本一致。 

1－7 苏格拉底悖论 

有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（socrates，公元前470－前399）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。 

苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事，那就是什么都不知道。” 

这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子: 

1－7 “言尽悖” 

这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道:如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗？我们常说: 

“世界上没有绝对的真理” 

我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。 

1－8 “荒谬的真实” 

有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论（paradox）来自希腊语“para＋dokein”，意思是“多想一想”。 


这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的 
解决办法？在下面一节的最后一部份还将继续探讨。 
http://hi.baidu.com/carol_g/blog/item/d114fd24d40b71034c088dde.html 
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王尔德的经典悖论 

奥斯卡·王尔德逻辑悖论式的辩论让人无从驳倒。他措辞巧妙的语句正是机智的体现。似是而非的论断迷惑了我们的理性，也正是我们人类固有的理性逻辑思维使我们陷入了悖论。以下就是王尔德悖论的典型例子； 
“我的缺点就是我没有缺点。” 
“第一：我永远是对的；第二：如果我错了，请参见第一条。” 
“如果你以为已经理解我的意思了，那么你已经误解了我的意思。” 
另外，王尔德似非而是式的悖论一样让人称绝： 
“每次人们赞同我的时候，我都觉得自己一定错了。”由这句话可以推理出“人们不赞同我的时候，我都是对的。” 
这样的措辞使人理屈词穷，百口难辩，他轻而易举地将真理占为己有，无论怎么去论证以上的语句，真理总是站在他的那一边。 

王尔德式的机智以悖论为主，也是他至理名言和特色。在王尔德的作品中，层出不穷的，无懈可击的悖论能够让理论散发出真理般的色彩。以下是节选其自作品中的语句（若想更好地体会会效果，建议去参考作品全文，以便联系上下文。）： 

除了诱惑之外，我可以抵抗任何事物。（I can resist everything except temptation.) 
生活里有两个悲剧：一个是没有得到我们想要的；另外一个是得到了。（There are only two trage dies in life:one is not getting what one wants and the other is getting it.) 
邪恶是好人发明出来说明那些奇异而有魅力的人的神话。（Wickedness is a myth invented by good people to account for the curious attractiveness of others.) 
每个伟人现今都有有信徒，而传记总由叛徒来写。（Every great man nowadays has his disciples,and it is always Judas who write the biography.) 
教养良好的人处处和他人过不去，头脑聪明的人处处和自己过不去。（The well bred contradict other people.The wise contradict themselves.) 
当神想惩罚我们的时候，他们实现我们的祈祷。（When the gods wish to punish us ,they answer our prayers.) 
一个好的名声，就像好的意向一样，在很多个举动的形成，在一个举动中推动中失去。（A good name,like good will ,is got by many action and lost by one.) 
一个愤世嫉俗的人知道所有东西的价格，不知道任何东西的价值。（A cynic is a man who knows the price of everything and the value of nothing.) 
把人分成好的与坏的是荒谬的，人要么是迷人要，或者乏味。（It is absurd to divide people in to good and bad .People are either charming or tedious.) 
女人是用来被爱的，不是用来被理解。（Women are meant to be loved,not to be understood.) 
公众是惊人的宽容，可以原谅一切除了天才。（The public is wonderfully to lerant .It forgive everything except genius.) 
诗歌可以拯救一切除了印刷错误。（A poet can survice everything but a misprint.) 
我不想谋生，我想生活。（I don not want to eran my living .I want to live.) 
比讨论更坏的唯一事情是不讨论。（The only thing worse than being talked about is not being talked about.) 
没有比冷静更让人恼火的。（Nothing is so aggravating than calmness.) 
声望是我从未经受的侮辱之一。（Popurlarity is the one in sult I have never suffered.) 
真理很纯粹，可决不简单。（The turth is rarely pure and never simple.) 
奚落是庸才对天才的颂歌。（Ridicule is the tribute paid to the genuis by the mediocrities.) 
没有伟大的艺术家是看事物真实的样子，如果他这样他就不再是艺术家。（No great artist ever sees things as they really are ,If he did he would cease to be a artist.) 
艺术的宗旨是展示艺术本身，同时把艺术家隐藏起来。 
自传体是批评的最高形式，也是最低形式。 
死亡和庸俗是十九世纪仅有的无法用巧辩逃避的东西。 
我们这个时代的人，读书太多，甩以不再聪慧，思考太多所以不再美丽。 
有些作品很有耐性，长时间以为也没被人了解，原因是这些作品为一些还未有人提出的问题提供了答案。这些问题在答案出现了很久很久以后才出现。 
那些自称了解自己的人，都是肤浅的人。（只有肤浅的人了解自己） 
只有聪明的女人才会犯骇人听闻的错误。 
艺术并非模仿生活，而是生活在模仿艺术。 
任何的艺术作品都无法表达观点，观点属于人，而非艺术家。 
评论开始发挥影响之际也就是它不再是评论家的时候，评论的目的是写下作者自己的心情，而非改正其他人的杰作。 
起初是我们造成习惯，后来是习惯造成我们。 
犯罪并非是低级，但是低级都是犯罪。 
一个自身美好的主题对于艺术家毫无启示，它缺乏缺陷。 
显而易见的事物是艺术家无法看到的唯一事物，显而易见的事物是大众能够看到的唯一事物，结果出现了记者的评论。 
艺术是世界上唯一严肃的事物，而艺术家则是唯一永远不严肃的人。 
犯罪分子离我们如此地近，就连警察都能够发现他们，他们离我们又如此遥远，只有诗人能够理解他们。 
女人对许多事物生来就很精明，除了显而易见的东西，什么也瞒不了她们。 
生活中不正常的事物与艺术的关系是政党的，而且是生活中与艺术保持正常关系的唯一事物。 
情感的好处就是让我们引入歧途，而科学的好处是不感情用事。 
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较通俗的自指悖论就是理发师悖论，说有一个理发师宣布一个规矩：“只给所有不给自己理发的人理发”。别人就问他这规矩包不包括他自己，如果理发师自己也不在这规矩之外，那他答给自己理发或不给自己理发都违了规矩，他将陷于“理”也不是，“不理”也不是的两难之中。 
　　 
稍微隐讳一点的自指悖论就是号称“无所不能”的“上帝”，有人就问上帝能不能举起自己造的石头，若举得起，那说明上帝并不能造一个谁也举不起的石头，是谓上帝有所不能，而不是“无所不能”；若不能举起，那显然，上帝还是“有所不能”。 
　　 
一般的理论或不需“自指”的逻辑推敲，而那些宣称是“终极”的理论或规矩，应该是需要“自指”逻辑检验的，而不能把自己排除在此理论之外。因为若还有什么在此理论或规矩之外，那就是说这种理论还有所不适用的地方，此理论就不是“终极”的。 
　　 
“神创论”或“唯物论”，看起来是一元论，其实是二元对立论。因为他们都是承认人或生命意识原来是不存在的，是由神创或物创的。一个“创”字或“生”字是无法交待清楚的。他们实际是都假设了两种不同的存在，然后用“创”或“生”将其联系起来。或者再算上这个说不清的“创生”关系，他们就成了三元论，这一点上某民哲先生倒比他们老实一些。他们假设了神或物，然后又假设了非神或非物，之后联系二者的是“创生”关系，是“无中生有”，除此，别无出路。 
　　 
我们很容易接受这样的路子，其实，我们都是事实上的二元对立实在论者而不知。比如，我们很难相信所见事物对象并非是自我存在的。按这样的路子，或说按二元对立的思路，所生起的东西只能是空无所有，才是没有麻烦的。《中论》云：以有空义故，一切法得成。又佛法法印云：“诸法无我”。 
　　 
为什么所生起的东西是空无所有，反倒能成立万法现象，而所生起的东西若是自我客观存在的，却是不能成立的？这不正好与我们常识相反么！因为若所生起的东西有丝毫或片刻的自我存在性即自我独立性，就意味着其是因缘俱足的，是决定的，就永无再变化成别的东西的可能，因为导致变化者非因即缘。而我们见到的任何现象都不是永恒不变的，所以于事实不符。于理呢，若其是因缘俱足的自我独立的存在，那我们再也无法使其缘起变化而被感知观察到。故一切所生起的东西皆空无自性、空无所有，有此空义，才能成立万法缘起现象。由万法现象空无自性故，故佛法云：一切法如幻，如梦幻泡影，如露亦如电。 
　　 
既然万法现象皆空，皆没有其背后的客观独立的实在。那么，“有”的是什么呢？“有”的是在安立空名的认识活动。不管现象是空是有，既然承认有现象显现这回事，就等于承认了能够显现现象的认识活动是事实上存在的。所以有“唯有识，无境”。对事实或作用，佛法是宣说“诸行无常”，而不是说“空无所有”了，这里就不多做讨论了。 
　　 
任何认识活动都能够被对象化认识，任何对象化的还原都不等于认识活动本身，是谓总是有非外化的内在存在，有“非思议所知”，或说总是有非对象化的范畴存在。其真实地支持着对象化的认识。这样的范畴只能够亲自去体会，而无法采用象拿什么东西一样拿出来让别人去检验。 
　　 
一般的理论，总是把所见的各种现象归为某种客观的自我存在，而不知道一切现象空无自性的道理。于种种不同的现象存在，又缺少联系起来的“粘和剂”，不知道此“粘和剂”非他，即“认识”耳。只有具体的“认识活动”才是事实上存在的真实支持现象的主体。世界上什么都可以不存在，唯独“认识活动”永无可能不存在。 
　　 
再来看自指悖论，设定了“A对象”和“非A对象”，又说“A对象”是“非A对象”这当然是矛盾的。这是同类性质的范畴，都是被规定的“对象”范畴，这里必须执行排中律。其实，“自指”是暗含某个对象即是规定者又是被规定者，某个对象因此暗含有双重身份。不再都是只有被规定者的地位，规定者不再是超然于外。理发师自身既是被理的对象，又是能理发的对象。把自身只当作被理的对象，这不符合常理，所以出现了矛盾集中于一个焦点，难以分解开。 
　　 
假如，按规定者和被规定者性质而划分，所谓“A”对象是由非被规定者性质的“非A”，即由认识主体所规定的。又，所谓“A对象”其实只是一个空名，是“空无所有”，其是由在起名的认识主体所规定的，这个认识活动是“有”。所谓A，即非A，是名A。所以，这个名“空”和认识主体的“有”并没有什么额外的东西存在而妨碍不相容，矛盾排中律也没有什么可排的了。 
　　 
假如认为认识的对象不空，而认识此对象的主体又事实上存在，那么就落入了二元对立论，除了祈求上帝或所谓的“自然”，恐怕再也没有什么法子使其相容了。凡夫事实上就是这样落入自设的二元对立矛盾中的，其实这矛盾也仅是认识性质的，并非什么实在，只是，只要这种认识错误存在，那么就意味着认识活动的存在。从此风浪起，再无有宁静。 
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