6、逻辑代数的化简（公式法和卡诺图法）
一、逻辑函数的化简
将一个逻辑表达式变得最简单、运算量最少的形式就叫做化简。由于 运算量越少，实现逻辑关系所需要的门电路就越少，成本越低，可靠性相对较高，因此在设计逻辑电路时，需要求出逻辑函数的最简表达式。
由此可以看到，函数化简是为了简化电路，以便用最少的门实现它们，从而降低系统的成本，提高电路的可靠性。
通常来说，我们化简的结果会有以下五种形式
为什么是这五种情况，这个跟我们实现的逻辑电路的元器件是有关系的。在所有的逻辑电路中，都是通过与、或、非三种逻辑电路来实现的，之前说过逻辑“与或”、“或与”、“与或非”组合逻辑电路是具有完备性的，也就是说能够通过它们不同数量的组合能够实现任何电路。
通过不同的“与或”电路组成的电路，最后化简的表达式就是“与或”表达式，其他同理。
二、将使用“与或”表达式的化简
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表达式中乘积项的个数应该是最少的
表达了最后要用到的与门是最少的，因为每一个乘积项都需要一个与门来实现。同时也对应了或门输入端的个数变少，有2个与项或门就有2个输入端，有3个与项或门就有3个输入端。
所以第一个条件是为了我们的与门和或门最少。
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每一个乘积项中所含的变量个数最少
它是解决每一个与门的输入端最少。
逻辑函授的化简有三种方法
三、逻辑函数的代数化简法
3.1 并项法
并项法就是将两个逻辑相邻（互补）的项合并成一个项，这里就用到了“合并律”
将公因子A提取出来合并成一项，b和b非相或的结果就等于1，所以最后的结果就是A。
3.2 吸收法
吸收法是利用公式“吸收律”来消去多余的项
3.3 消项法
消项法又称为吸收律消项法
3.4 消因子法（消元法）
3.4 配项法
左边的例子用到了方法1，右边的例子用到了方法2。
3.5 逻辑函数的代数法化简的优缺点
优点：对变量的个数没有限制。在对定律掌控熟练的情况下，能把无穷多变量的函数化成最简。
缺点：需要掌握多个定律，在使用时需要能够灵活应用，才能把函数化到最简，使用门槛较高。在有些函数下，并不能化到最简。
综上所述，代数法化简的缺点远远大于它的优点，因而引出了卡诺图化简法。
四、卡诺图化简
4.1 概念
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卡诺图是由美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出的一种用来描述逻辑函数的特殊方格图。
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在学习卡诺图之前有个概念需要清楚：
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最小项的定义：一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
简单来说最小项就是变量只有与非的表达式，3变量的与非表达式能够组合出8种不同的形式。它们的特点是8种不同的与非表达式，输入同样的变量取值，如：000，最后只有一种表达式会得1，其余得0，所以叫做最小项。
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逻辑相邻最小项，如果两个最小项之间，只有一个变量不同，其余都相同，这个就叫做逻辑相邻最小项。
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| 编号 | A | B | F |
|---|---|---|---|
| m0 | 0 | 0 | 0 |
| m1 | 0 | 1 | 1 |
| m2 | 1 | 0 | 1 |
| m3 | 1 | 1 | 0 |
这个真值表是AB变量的数值是按照顺序来变化的，可以看到编号为m1和m2之间变量并不相邻，都互相取反了。我们可以通过调整顺序，将这个真值表变成逻辑相邻（格雷码）。
| 编号 | A | B | F |
|---|---|---|---|
| m0 | 0 | 0 | 0 |
| m1 | 0 | 1 | 1 |
| m3 | 1 | 1 | 0 |
| m2 | 1 | 0 | 1 |
将m3和m2进行位置的互换以后，可以看到只有1位变量的值，发生了变化，这样就叫做逻辑相邻（格雷码）。
逻辑相邻（格雷码）给我们找到了一个化简的途径，在卡诺图中正是利用了这个原理进行化简的。
4.2 卡诺图的构成
卡诺图主要的做法就是画一个二维的方格图，在这个图里面，我们把逻辑相邻的最小项都摆放成位置相邻。
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在这个方格图中，每一个方格代表逻辑函数的一个最小项，而且几何相邻（在几何位置上，上下或左右相邻）的小方格具有逻辑相邻性（格雷码），即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量取值不同。
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对于有n个变量的逻辑函数，其最小项有2^n个。因此该逻辑函数的卡诺图由 2^n 个小方格构成，每个小方格都满足逻辑相邻项的要求。
这是一个二变量的卡诺图，变量A写在左侧，0和1表示那一列A不同的取值。变量B写在上方，0和1表示那一行B不同的取值。格子里面是存放的是左侧与上侧的变量结合出来的最小项表达式。结合成最小项时，左侧的变量A在高位，上侧的变量B在低位。
相邻方格位置之间的最小项只有一个变量发生了变化，这个就叫做位置相邻。
在卡诺图中多变量那一行，需要按照逻辑相邻（格雷码）的概念进行排序。
N变量的表达式有N种不同的最小项，这个原理在卡诺图中也是一样的。在N变量的卡诺图中，任意位置的最小项都能找到N个对应位置相邻的最小项。
最小项编号具有格雷码的循环特性，所以在卡诺图中边缘的最小项能够跟它最上面和最左、右边的最小项位置相邻。
对于5变量的卡诺图，我们也应该提供给每一个最小项都有5个位置相邻的最小项。但是在二维表中，只有上下左右，因此没有办法在一个表中提供5个位置相邻的最小项。那么一张不行，我们就把它定义成2张卡诺图。
假设，5个变量分别为：ABCDE，我们把A变量单独拿出来，将A=0的情况，用一张表来表示；将A=1的情况，再用一张表表示。每个表都是4变量的卡诺图，结合成最小项时，A变量在最高位，接下来是左侧的变量BC，上侧的变量DE在低位。
4.3逻辑函数的卡诺图表示
最小项之和式
最大项之积式
4.4 真值表转换成卡诺图
4.5 一般“与或”式的逻辑函数转换成卡诺图
1、将式子的不同变量提取出来，变成N变量的卡诺图。
2、观察结果F 在何种状态下结果会变为1，上面式子通过观察可知，只要有一个与项的结果等于1，其结果F就会等于1.
3、将会使结果F等于1的变量值和卡诺图对应上，其格子填上1。
4、所有F=1的情况，列出来以后，其他就=0了。
4.6 一般“或与”式的逻辑函数转换成卡诺图
1、将式子的不同变量提取出来，变成N变量的卡诺图。
2、观察结果F 在何种状态下结果会变为0，上面式子通过观察可知，只要有一个或项的结果等于0，其结果F就会等于0.
3、将会使结果F等于0的变量值和卡诺图对应上，其格子填上0。
4、所有F=0的情况，列出来以后，其他就=1了。
4.7 逻辑函数为其他形式转换成卡诺图
4.7 卡诺图的性质
4.8 卡诺图的运算
4.9 利用卡诺图化简逻辑函数
4.9.1 最小项合并规律
这个圈就叫做卡诺圈。
1、求最简“与或”式（最小项）
2、圈组合并时注意事项
3、求最简“或与”式（最大项）
4.9.2 多输出逻辑函数的卡诺图化简法
