抽象代数

群

• （非空集合G, 运算*）
• 半群：*满足结合律、分配律
• 群：具有单位元、逆元
• 阿贝尔群：*有交换律
• 循环群G：$\exists a\in G, G ＝\{a^0, a, a^2, …, a^{n-1}\}$。循环群是阿贝尔群。
• 子群H：$a,b \in H \Rightarrow a*b^{-1} \in H$
• 陪集：aH，两两不相交
• 正规子群：aH=Ha。记为$G\triangleright H$。
• 单群：只包含平凡正规子群的群。
• 商群G/H：（{aH},*）
• 对称群：所有置换构成的群S
• 交错群：所有偶置换构成的群A。偶置换：偶数个对换（2元交换）的乘积。
  • $A_n, n\geqslant 5$是单群。
  • $A_n, n>3$不满足交换律。
• 同态（群映射）：$f(a\ast b)=f(a)\cdot f(b)$
• 同构：一一对应的同态映射
• 自同构群：所有自同构成的群
• 拉格朗日定理：  |E| = |E:F|| F|
• 同态基本定理：  $E/Ker(f ) \Leftrightarrow im(f)$

S5不可解性证明

可解群：一个群，拥有一个商群$G_i/G_{i-1}$皆为阿贝尔群的正规子群列$G_i$。或者等价地说，存在降正规子群列：$G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright... \triangleright{1}$，每个子群也是交子群。

若S5是可解的，则存在正规子群N使S5/N可交换。于是任意x,y∈S5，x^-1y^-1xy∈N

考察三项循环(a b c)∈S5，再取另两元d，e。令x=(d b a)，y=(a e c)。即有x^-1y^-1xy=(a b c)∈N。故N包含所有三轮换。

—同理其正规群列均包含三轮换，所以不可能结束于1。

另一种证明：A5是单群，A5/{1}不可交换$\Rightarrow$A5不可解$\Rightarrow$S5不可解。

环与域

• （G，+，*）
• 环：(G,+)为阿贝尔群，(G,*)为半群，*对+可分配
• 多项式环：G为多项式集合
• 域：环，(G-{0}, *) 为Abel群
• F的扩域E：E/F，F是E的子域
• 有限扩域E/F：若E作为F上的向量空间是有限n维=[E:F]
• 代数扩域：如果E中的元素a是某个非零多项式f ∈ F[x]的根，称a为域F上的代数元。包含a和F的最小E子域称为F上添加a得到的单代数扩域F(a)。
  • 单代数扩域结构定理：设F(a)是F的一个单代数扩域，而a在F上的最小多项式是n次的，那么［F (a):F ］＝n，且1，a，a²，…，a^n－1是F(a)在F上的一个基。
• 正规扩域：设E是F的一个有限扩域，且f(x)∈F(x)是F上的任意一个不可约多项式.如果E含有f(x)的一个根，那么E就含有f(x)的所有根。
• 称E/F为一个(m型)纯（根式）扩域：$E＝F(d)，d∈E, d^m\in F,m\in N$。

  • 根式塔：域列F＝F₁⊆F₂⊆…⊆F_r＋1。每一个F_i＋1/F_i都是一个纯（根式）扩域。

向量空间

给定域F，F上的向量空间V是一个集合，其上定义了两种二元运算：

• 向量加法：V × V → V，把V中的两个元素u和v映射到V中另一个元素，记作u + v；
• 标量乘法：F × V → V，把F中的一个元素a和V中的一个元素u变为V中的另一个元素，记作a ·u。

V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。而V装备的两个运算满足下面的公理（对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：
(V,向量加法)为交换群

• 标量乘法对向量加法满足分配律：a · (v + w) = a ·v + a ·w.
• 标量乘法对域加法满足分配律：(a + b) ·v = a ·v + b ·v.
• 标量乘法与标量的域乘法相容：a(b ·v) = (ab) ·v.
• 标量乘法有单位元：域F的乘法单位元“1”满足：对任意v，1 ·v = v。

伽罗瓦理论

伽罗瓦群：如果 E是F的正规扩域，则 自同构Aut(E/F) 称为E在F上的伽罗瓦群，对F为恒等变换，通常记做 Gal(E/F)。

• $\forall\sigma \in Gal(E/F), \forall a \in F \sigma(a)=a$
• $\forall\sigma \in Gal(E/F), \forall a \in E f(a)=0 \Rightarrow f(\sigma(a))=0$
• Gal(E/F)与Sn同构；|Gal(E/F)| = [E:F]

伽罗瓦基本定理：Gal(E/F)的子群序列，所有E/F的中间域序列，存在逆向一一对应。

• $H\triangleright G(E/F), H^+=\{a\in E|\forall \sigma\in H, \sigma(a)=a\}$
• E/F的中间域M，$M^*=G(E/M)$
• $H^+=M \Leftrightarrow M^*=H$

古典难题的求解

一般多项式的根式解

• 多项式$f(x)\in F(x)$有根式解$\Leftrightarrow$F之上有根式塔，$E\in F_{r+1}\,\Leftrightarrow\,f(x)$在F上的伽罗瓦群可解

尺规作图

• 2个可作点之间的距离，以及该距离的负值，称为可作数；可作数的加减乘除，以及开平方皆为可作数；因此可作数的全体为域K，其扩域指数为偶数，由f(x)=x²-a得来。
• 设三次多项式f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d∈Q[x]没有有理根，那么它的分裂域指数为3，因此其根为不可作数。立方倍积、三等分任意角与化圆为方都可以转换为没有有理根的3次多项式。

参考文献

• 徐诚浩，古典数学难题与伽罗瓦理论，复旦大学出版社，1986
• 冯克勤，近世代数引论，中国科学技术大学出版社，2002
• Solvable_group，http://en.wikipedia.org/wiki/SoEvabEe_group
• 伽罗瓦理论基本定理，http://zh.wikipedia.org/wiFi/伽罗瓦理论基本定理
• 冯承天，从一元一次方程到伽罗瓦理论，华东师范大学出版社，2012