信号与系统
引言
信号与系统是在多个应用领域中出现的概念，虽然其物理本质不同，但是都具有两个基本特征。信号是一个依赖于一个或多个独立变量的函数，包含着一些现象本质或行为的信息；
而系统是一个关于信号的函数，对于特定的信号，会产生其它信号或一些期望的行为。
信号与系统理论提供了一种基础的数学模型，可以对各种领域的信号与系统进行统一的描述和分析。信号的定义，性质和运算与其数学域有关；而系统的定义和性质则是从各种物理系统中总结出来的，如稳定性、可逆性、因果性、无记忆性等。
本文在第一、二节分别介绍时域、频域中的LTI 系统，建立基本概念，并在第三节讨论一些实例，如滤波器、调制器，来加深这种认识。第四、五节介绍了离散信号的时频域分析，侧重于数字信号处理中的一些问题。最后在第六节讨论了谱域分析及其在线性反馈系统中的应用。本文着重于介绍各种分析之间的联系，从而略过了一些数学模型的建立过程。
时域系统
信号在时域中是一个时间函数，对应于各个时间点上的量化信息。借助于$\delta$函数，信号可以表示为：
$x(t)=\delta(t)\bigotimes x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-\tau)x(\tau)d\tau$
如果系统具有线性时不变（LTI）的特性，$Y[ax+by]=aY[x]+bY[y],Y[x(t-\tau)](t)=Y[x(t)](t-\tau),h(t-\tau)=Y[\delta(t-\tau)]$
那么系统可以用一个卷积公式来表示，h(t)称为系统冲激响应。
$y(t)=Y[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-\tau)x(\tau)d\tau]=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)x(\tau)d\tau=h(t)\bigotimes x(t)$
系统特性可以具体表示为：
- 因果性：$h(t) = 0, t<0$；
- 稳定性：$h(t)$绝对可积；
- 无记忆性：$h(t)=K\delta(t)$；
- 可逆性：$h(t)*h^{-1}(t)=\delta(t)$
如果采用阶跃函数分解信号，则可以得到基于阶跃响应的卷积公式，并且$h_d(t)= h_s(t)’$。另外，很大一部分LTI 系统可以用常系数微分方程来表示，并且可以用形象的系统框图来表示。
频域系统
有相当一部分信号可以分解成正弦信号的线性组合，因此在频域中，采用如下公式来分解信号。
$x(j\omega)=\delta(j\omega)\bigotimes x(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(j\omega-jw)x(w)dw$
类似于时域公式，系统的LTI 特性表示如下：
$S[aX(j\omega)+bZ(j\omega)] = aS[X(j\omega)] + bS[Z(j\omega)]，S[X(j\omega-j\omega_0](j\omega) = S[X(j\omega)](j\omega-j\omega_0)$以及乘积公式：
$Y(j\omega) =$F[y(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}F[h(t-\tau)]x(\tau)d\tau=H(j\omega)\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau=H(j\omega)X(j\omega)$
利用傅立叶变换，其系统性质定义为：
- 因果性：$H(j\omega) = 0, t<0$；
- 无记忆性：$H(j\omega)=K$；
- 可逆性：$H(j\omega)H^{-1}(j\omega)=1$。
其稳定性一般针对于这样的系统进行分析，即在时域中可以用常系数微分方程来表示。
在频域中，其系统为一个有理分式，其极点都分布在实轴负平面时，对应的时域系统 h(t)绝对可积。
另外，对于很多有用的信号都不能做傅立叶变换，因此采用$e^{-st},s=\sigma+j\omega}$进行拉普拉斯变换，以此建立谱域，主要分析自控系统的稳定性。
时频域分析
对于频率选择的滤波器来说，在频域设计是一种直接、方便的方法，而且可以在（Bode）图上直接对$H(j\omega)$的各个分量进行计算。为了得到不失真的信号输出，需要考虑滤波器幅度和相移两个方面。为了使各个频率分量在时域得到统一的延迟，需要相移保持线性，或群延迟为常数。
非理想滤波器有通带波纹，禁带波纹和过渡宽度三个指标。通常需要在指标与成本之间做出权衡。在时域上，这些指标可以通过系统阶跃响应的上升时间和铃振效应来测量。以二阶系统为例，其系统函数为：
$H(s)=\frac{1}{s^2+2\zeta s+b^2}$
$\zeta$为阻尼系数。$\zeta$越大，系统极点越深入负半轴，系统越稳定。反之$\zeta$越小，阶跃响应的上升时间越小，但是系统就越不稳定，以至出现振荡。
实际上，调制解调器不是一个LTI 系统，但是可以利用傅立叶变换得到其频谱加以分析。以幅度调频为例，其频谱占据以载波频率为中心的信号带宽。
$y(t) = x(t)e^{j\omega t}，Y(j\omega = X(j\omega-j\omega_c)，x(t) = y(t)e^{-j\omega t}$
对于异步解调系统来说，用包络来近似调制信号，有两个比较重要的假定：$x(t)>0，\omega_c >>\omega_x$。如果用正弦信号来担任载波，则其频谱会显示出两个边带，表现出带宽和能量的损失。另外，对于窄带调频系统，系统输出信号会表现出类似AM-DB/WC 的频谱。
线性反馈系统是LTI 系统构成前向和反馈通路的线性时变系统。反馈通路改变了系统的极点分布，所以可以完成系统求逆、系统补偿、系统稳定和系统跟踪等方面。其稳定性可以由根轨迹和奈奎斯特方法来判断。
根，即系统极点，依赖于系统的前向和反馈表达式。随着增益的变化，其极点会形成一个轨迹。相角准则要求$\angle G(s)H(s)=n\pi$，使得G(s)H(s)与k 一样为实数。根，称为闭环极点，
从G(s)H(s)的极点开始到零点结束。在左半平面的轨迹对应的k 值使得系统稳定。
$R(s) = G(s)H(s) + 1/k = 0$
奈奎斯特（Nyquist）准则不需要G(s)H(s)的解析表达式，利用复平面的包围定理，如果右半平面没有极点分布，那么其围线的R(s)映射围绕原点的次数与R(s)零点相同，或者说G(s)H(s)映射围绕原点的次数与G(s)H(s)零点相同。另外需要考虑的是增益裕量和相角裕量，前者是反馈相角为零时的最小增益；后者是增益为1 时的最小相角。
离散域分析
所谓离散信号建立在归一化的时间或频率上。与连续信号相似，LTI 系统可以表示为：
时域：$y[n] = x[n]*h[n]$，频域：$Y(j\omega) = X(j\omega)H(j\omega)$。与其不同的是：由于时间或频率的离散性，其频域响应以2为周期或其时域响应以T 为周期，两者具有对偶性。相应的傅立叶变换变成：
时间离散：$x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(j\omega)e^{j\omega n}d\omega,X(j\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}$
由$z=e^{jk\omega_0}$，可得到Z变换：$x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint_C X(z)z^{n-1}dz,X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$
因此判断变换域Z中的系统特性，大都与频域相似，只有稳定性要求系统极点分布在单位圆内。Z 域分析主要应用在数字信号处理领域。
频率离散：$X[jk\omega_0]=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}dt,x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[jk\omega_0]e^{jk\omega_0t}$
如果对时间、频率都进行离散归一化，可以得到离散傅立叶级数，此时频谱有限，信号具有周期性。
时频离散：$x(nt_0)=\sum_{k=0}^{K-1}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0 nt_0},X(jk\omega_0)=\frac{1}{T}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\omega_0 n}$
采样定理
采样定理讲述了在什么样的条件下，连续信号才可以被其采样数据唯一表示或重建。设x(t)为带宽有限信号，$x(j\omega)=0, |\omega|>\omega_M$，x(t)被其采样信号x(nT)，n=0, …, 唯一决定的条件是，$\omega_S>2\omega_M，\omega_S=2\pi/T$。
$\hat{x}=\sum_{m=-\infty }^{\infty }x(mT)\delta(t-mT)$
$\hat{X}(j\omega)=F[\hat{x}(t)]=\frac{1}{2\pi}F[x(t)]F[\delta_t(t)]=\frac{1}{2\pi}X(j\omega)\Delta_t(j\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty }^{\infty }X(j\omega-jk\frac{2\pi}{T})$
可见，原信号频谱经周期采样后被延拓了，加一个低通滤波器即可恢复出原信号频谱。采样定理保证了频谱延拓后不致混迭。如果不满足采样条件，则会发生伪信号（aliasing）现象。从频谱分析上看，$\omega_S<2\omega_M$会使得低通滤波器选择$|\omega_S -k\omega_0|<\omega_S /2$，造成信号频率的变化。另外信号采样可以看作是连续信号到离散信号的一个桥梁。其逆向过程是通过插值来实现的，常用的有零阶保持、线性插值两种方法。
- 零阶保持方法加入一个系统，使得信号在采样间隔保持恒定，其冲激响应为：h(t) = 1, 0<=t<=T；h(t) = 0, 其它。值得注意的是，它改变了频谱，需要在低通滤波器中加以恢复。
- 线性插值系统的冲激响应为： h(t) = 1, 0<=t<=T；h(t) = 0。
对于离散信号，同样有采与插值两个过程。其不之处在时间具比例 对于离散信号，同样有采与插值两个过程。其不之处在时间具比例 对于离散信号，同样有采与插值两个过程。其不之处在时间具比例 对于离散信号，同样有采与插值两个过程。其不之处在时间具比例缩放的作用。
线性周期时变（LPTV）系统
线性周期时变（LPTV）系统的基本信号为复指数函数，这里时变性是系统的一般特征，周期性是系统函数h(t)的时域特征。
$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_ke^{jk\omega_0t},y(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_kY[e^{jk\omega_0t}]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k\sum_{i=-\infty}^{\infty}h_{i,k}e^{ji\omega_0t}$
$Y=HX\,where\,Y=[Y[jk\omega_0]]^T,X=[X[jk\omega_0]]^T, H=[h^{i,k}]$
可以证明LPTV系统的并联，串联和反馈仍然是LPTV系统。如果满足公式（1），LPTV系统退化成离散频域中的LTI系统，因此LPTV系统与LTI系统连接仍然是LPTV系统。如果满足公式（2），LPTV系统是一个混频器，即时域乘法器。
$\left\{\begin{matrix}h_{i,k}=0\,if\,i\neq k...(1)\\ h_{i,k}=h_{i+n,k+n}=g_{i-k}...(2)\end{matrix}\right.$
与LTI系统相比，LPTV系统表现出频率转换的系统特性，更适用于通信领域。
结语
图表 1: 不同信号域之间的变换关系
图表左边是连续信号的三个域：时域T、频域F和谱域S。谱域S是频域F更一般的形式，可以描述不稳定系统。图表右边是离散信号的三个域：时域Nt、频域Nf和变换域Z，其中变换域Z是频域Nf的一般形式。因此利用时频变换关系分析系统特性，在离散域和连续域是极其相似的。
离散域与连续域之间的对应关系是信号的周期性或离散性引起的，也造成了其间傅立叶变换的不同形式。同时也要看到离散域与连续域之间的变换关系，例如信号脉冲采样，变量归一化。在分析数模混合过程的系统特性时，要注意这些变换的一致性，例如保持频谱一致的采样定理。
参考文献
[1] Alan V. Oppenheim, et al, SIGNAL & SYSTEM II, Prentice Hall Inc. 1997
[2]程佩青，数字信号处理，清华大学出版社
