从线性逼近到多项式逼近：泰勒级数

 

Taylor级数（对函数进行高阶逼近）： 对复杂函数使用多项式

进行逼近

**************************************************************************************** 

泰勒公式告诉我们，怎么把铁丝弯成不同的样子

泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。 
先来感受一下： 

点击此处前往操作。

 

设$\mathrm{nn是一个正整数。如果定义在一个包含aa的区间上的函数ff在aa点处n+1n+1次可导，那么对于这个区间上的任意x都有：}$

$\mathrm{，其中的多项式称为函数在aa处的泰勒展开式，Rn(x)Rn(x)是泰勒公式的余项且是(x-a)n(x-a)n的高阶无穷小。----维基百科}$

 

泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果  的话，就是麦克劳伦公式，即：

 ，这个看起来简单一点，我们下面只讨论麦克劳伦公式，可以认为和泰勒公式等价。

 1.多项式的函数图像特点

展开来就是 

，这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。

 

可以看到，幂函数其实只有两种形态，一种是关于  轴对称，一种是关于原点对称，并且指数越大，增长速度越大。

 

那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢？

怎么才能让  和  的图像特性能结合起来呢？

我们来动手试试看看系数之间如何压制的：

点击此处前往操作。

 

通过改变系数，多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线。送你一颗心（虽然是隐函数，意思一下）：

2.用多项式对  进行逼近：

 是麦克劳伦展开形式上最简单的函数，有  就是这么任性。

增加一个  看看。

增加一个  看看。

可以看出，  不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近  。并且  越大，起作用的区域距离0越远。

3.用多项式对  进行逼近

 是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。

同样的，我们再增加一个  试试。

可以看到  在适当的位置，改变了  的弯曲方向，最终让 更好的逼近了  。

一图胜前言，动手看看  的展开吧：

 点击此处前往操作。

4.泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系 

拉格朗日中值定理：如果函数  满足，在  上连续，在  上可导，那么至少有一点  (  )使等式  成立。

数学定义的文字描述总是非常严格、拗口，我们来看下拉格朗日中值定理的几何意义： 

这个和泰勒公式有什么关系？泰勒公式有个余项  我们一直没有提。

余项即使用泰勒公式估算的误差，即:

余项的代数式是，  ，其中  。是不是看着有点像了？

当  的时候，根据泰勒公式有，  ，把拉格朗日中值定理中的  换成  ，那么拉格朗日中值定理根本就是  时的泰勒公式。

结合拉格朗日中值定理，我们来看看  的时候，泰勒公式的几何意义： 

当  的时候，泰勒公式几何意义很好理解，那么  呢？

这个问题我是这么理解的：首先让我们去想象高阶导数的几何意义，一阶是斜率，二阶是曲率，三阶四阶已经没有明显的几何意义了，或许，高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的，穿过更高维的时空才能俯视它的含义。现在的我们只是通过代数证明，发现了高维投射到我们平面上的秘密。

还可以这么来思考泰勒公式，泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展，为什么呢？因为点的发展趋势蕴含在导数之中，而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中......四不四很有道理啊？

5.泰勒公式是怎么推导的？

很多同学看到这段时，可能有点看不懂，我在牛顿插值的几何解释是怎么样的？ - 知乎，这个回答里尝试重新作答了。

 

根据“以直代曲、化整为零”的数学思想，产生了泰勒公式。

如上图，把曲线等分为  份，分别为  ，  ，  ，  ，令  ， 

，  ，  。我们可以推出（  ，  可以认为是二阶、三阶微分，其准确的数学用语是差分，和微分相比，一个是有限量，一个是极限量）：

也就是说，f(x)全部可以由  和  决定，这个就是泰勒公式提出的基本思想。据此的思想，加上极限  ，就可以推出泰勒公式。

6.泰勒公式的用处

多项式这种函数是我们可以亲近的函数，它们很开放、很坦白，心里想什么就说什么，比如 ：

 ，这个多项式会告诉我们想问的任何消息，甚至更多，譬如，我们问：“嘿，老兄，你在4那点的值是多少？”这时  会毫不犹豫的回答：“你把4代进来，就会得到  ，顺便告诉你，我最近长了奇怪的疹子，痒的要命，还好这两天症状减轻了...”。但是  阴暗、多疑，要是问它：“嗨，你在3的值是多少啊？”你得到的答案可能是：“你要干什么？为什么打听别人的私事？你以为凭着你那点加减乘除的三脚猫功夫就可以查出我的底细？况且我在3的值是多少，干你什么事！”----《微积分之倚天宝剑》

泰勒公式最直接的一个应用就是用于计算，计算机一般都是把  进行泰勒展开进行计算的。

泰勒公式还可以把问题简化，比如计算，  ，代入  的泰勒展开有：

 ，其中  是泰勒公式里面的余项，是高阶无穷小， 。解题神器有没有？

文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何通俗地解释泰勒公式？