整理阅读的论文(一)

      这篇文章的基本思想(文中称为Local tangential lifting method,简称LTL)为将三维曲面上的三角形网格光顺(mesh smooth)问题通过投影转化到法平面上的二维网格上讨论(详见 3.1)。其中,法平面的确定采用点邻接三角形的法线加权平均法(权因子选择的是点离三角形重心距离平方的倒数来确定,详见Equ(13))。
      在 3.2 节中,通过 Taylor 展式来动态地确定离散 Laplace 算子的系数(普通的 Laplace 算子要么采用 uniform weights 的方式,它将加权值统一取成邻接单元个数的倒数,要么采用 Desbrun 的方式,它将连接点的两侧三角形的角度的余切值考虑进去)来得到尽量高的收敛阶。采用该方法有以下问题需要考虑,一,加权值是否和法线所在的切平面的坐标轴选择相关(幸运的是,与之无关);二,使用 Taylor 展式后根据逼近阶列出的线性方程组不适定(一般地,方程的个数小于未知数的个数),得不到关于加权值的唯一解。这里采用了两个技巧处理该问题,第一个技巧,尽管方程数很多,但是离当前点越远的点对当前点的作用越小,所以文章中只选取了五个最近点来得到相应的方程;第二个技巧,和五点laplace离散格式做类比,得到系数应该满足的一个条件(注[1])(该技巧也经常见于排序算法[2]的实现中,如对排序权值的和进行约束),再将该条件加到已有的方程组中去,进而得到一个适定方程组。有了以上的准备工作,文章给出了该方法的收敛性证明(uniform weights 的方式不收敛,Desbrun weights 的方式只是对特殊情形下的收敛性给出了证明。证明的过程比较复杂,要点结论对法平面所选的坐标系无关性),且收敛速度为O(r),其中 r 为网格的尺寸。
      

      注1:和普通的权因子的和约束不同,这里使用的是权因子的平方和约束。 
      注2: 以前使用过 Laplace 优化,只是觉得很神奇,并没有去考虑过其数学背景。直到读这篇文章的时候,看到 Laplace 算子离散的五点格式才恍然大悟。Laplace 算子的收敛解可以当成是一种热传导问题稳态情形的解[3],把网格的优化和此相联系,就不难理解为什么使用Laplace方法奏效的原因了:它把网格优化的问题放到热传导问题中去考虑(相应的边界条件采用固定边界条件)。
      注3:Green公式的使用及相应的近似离散形式。  

 参考文献:
       [1] Jyh-Yang Wu, Mei-Hsiu Chi and Sheng-Gwo Chen 
             文章下载链接  http://arxiv.org/pdf/1004.3486.pdf 
       [2] 《谁排第一?关于评价和排序的科学》 ,第六章,马尔科夫法,(美)Amy N. Langville, Carl D. Meyer 著, 郭斯羽译,机械工业出版社, 2014年6月
       [3] http://baike.baidu.com/link?url=SxTaLjhQq6f3WmIOF6Dex43YEJ6gXktELhqPRxVbI2lM3kqPXOeAdk_Q4muoDD1ml7R_EtyqxVpKU-UubYhlFK

posted on 2015-06-22 21:06  caicailiu  阅读(268)  评论(0编辑  收藏  举报