同伦延拓法中的几个数学常识

      同伦延拓法主要用途是针对牛顿法对迭代初值的要求苛刻这一缺点提出来的一种方法，它能保证初值的大范围收敛。它基于拓扑度的同伦不变性，基本思想是构造一个同伦，通过简单映像的解去追踪复杂映像解的方法，最后将问题转化为微分方程求解。

     不变量是数学研究的一个主要内容，它是指虽然有各种各样的形式，但在这些形式中某个量是不变的，这个量就是不变量。同样，在同伦中，也涉及到同伦的不变量：Brouwer拓扑度，它扩展了解的个数的表达形式，进而成为同伦延拓的不变量。

     隐函数定理，常常用于反函数存在性的证明。

     正则点和正则值，正则和奇异可以放到一起进行理解记忆。在这里，正则点是指该点处的Frechet导数有最大秩。

     Sard定理表明，同伦方程对初值的选择几乎都可解，不可解的概率为0.

     Householder变换在数值计算中经常出现，它具有如下性质：正交性，对合性，行列式为-1，保长性，它用于QR分解中。

     牛顿迭代法经常出现在非线性方程的求解中。

     构造不同的同伦形式，计算速度也不同。当然，简单映像越接近求解的映像，求解的速度相应地也越快。