稀疏矩阵数据结构（如CSR、CSC格式）

稀疏矩阵数据结构

稀疏矩阵（Sparse Matrix）是一种大多数元素为零的矩阵。在处理稀疏矩阵时，如果我们直接使用常规的二维数组来存储矩阵数据，将会浪费大量的存储空间，因为大部分元素都是零。为了解决这一问题，稀疏矩阵数据结构应运而生，通过只存储非零元素来大幅减少内存消耗。

最常用的稀疏矩阵存储格式包括 压缩行存储（CSR） 和 压缩列存储（CSC）。这两种格式是用于存储稀疏矩阵的标准方法。

1. 压缩行存储（CSR，Compressed Sparse Row）

CSR 是一种常用的稀疏矩阵存储方式，它将矩阵的非零元素按行存储，并记录每行中非零元素的位置。CSR格式通过三个数组来存储稀疏矩阵的数据：

• values：存储矩阵中的所有非零元素。
• column_indices：存储每个非零元素对应的列索引。
• row_pointer：指示每行开始非零元素的位置。在这个数组中，元素 row_pointer[i] 表示第 i 行的第一个非零元素在 values 数组中的位置。

举个例子：

假设我们有一个 4x5 的稀疏矩阵如下：

[
$$\left[\begin{array}{ccccccccccccccccc}0& 0& 3& 0& 00& 0& 0& 4& 05& 0& 0& 0& 60& 7& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
]

对于这个矩阵，使用CSR格式存储时，三个数组会是：

• values：[3, 4, 5, 6, 7]
• column_indices：[2, 3, 0, 4, 1]
• row_pointer：[0, 1, 2, 4, 5]

说明：

• values 存储了矩阵中的非零元素。
• column_indices 存储了每个非零元素对应的列索引。
• row_pointer 存储了每行的起始非零元素在 values 数组中的位置。

这样，通过这三个数组，CSR格式可以高效地存储稀疏矩阵的数据并快速访问。

2. 压缩列存储（CSC，Compressed Sparse Column）

CSC 格式与CSR格式非常相似，只是它将矩阵的非零元素按列存储。CSC格式通过三个数组来存储稀疏矩阵的数据：

• values：存储矩阵中的所有非零元素。
• row_indices：存储每个非零元素对应的行索引。
• column_pointer：指示每列开始非零元素的位置。在这个数组中，元素 column_pointer[j] 表示第 j 列的第一个非零元素在 values 数组中的位置。

举个例子：

假设我们有一个 4x5 的稀疏矩阵如下：

[
$$\left[\begin{array}{ccccccccccccccccc}0& 0& 3& 0& 00& 0& 0& 4& 05& 0& 0& 0& 60& 7& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
]

对于这个矩阵，使用CSC格式存储时，三个数组会是：

• values：[3, 5, 4, 6, 7]
• row_indices：[0, 2, 1, 2, 3]
• column_pointer：[0, 1, 2, 3, 5, 5]

说明：

• values 存储了矩阵中的非零元素。
• row_indices 存储了每个非零元素对应的行索引。
• column_pointer 存储了每列的起始非零元素在 values 数组中的位置。

3. CSR与CSC的对比

特性	CSR（压缩行存储）	CSC（压缩列存储）
存储方式	按行存储非零元素	按列存储非零元素
使用数组数目	3个：values、column_indices、row_pointer	3个：values、row_indices、column_pointer
适用的操作	快速按行遍历、矩阵乘法、求解线性方程组等	快速按列遍历、矩阵乘法、求解线性方程组等
优势	对于按行访问较快（例如：矩阵-向量乘法）	对于按列访问较快（例如：矩阵-向量乘法）
适用场景	行操作为主的稀疏矩阵运算（如行扫描）	列操作为主的稀疏矩阵运算（如列扫描）

4. 其他稀疏矩阵格式

除了CSR和CSC格式外，还有一些其他的稀疏矩阵存储格式：

• COO（Coordinate List）格式：通过三组数组来存储矩阵的行索引、列索引和非零值，适合于稀疏矩阵的插入操作。
• DIA（Diagonal Storage）格式：适用于对角线矩阵，通过存储每一对角线上的非零元素来节省空间。
• LIL（List of Lists）格式：每行的非零元素用链表存储，适用于稀疏矩阵的动态修改。

5. 稀疏矩阵操作

在稀疏矩阵中，常见的操作有：

• 矩阵乘法：稀疏矩阵乘法可以利用稀疏矩阵的数据结构高效实现，只对非零元素进行运算。
• 矩阵转置：稀疏矩阵的转置可以通过调整矩阵的行列索引来实现。
• 求解线性方程组：稀疏矩阵经常用于求解线性方程组，通过专门的稀疏求解器（如CG、GMRES）可以高效地处理。

6. 总结

使用稀疏矩阵数据结构（如CSR、CSC格式）可以有效减少存储和计算开销，尤其是在处理大规模稀疏矩阵时。通过选择合适的存储格式，可以根据具体的应用场景来优化操作性能。