三维仿射变换（3D Affine Transformation）

三维仿射变换（3D Affine Transformation）是对三维空间中的点、向量或几何体进行一系列几何变换的操作，这些变换通常包括旋转、平移、缩放、剪切等。仿射变换是比刚性变换（如旋转和平移）更一般的一类变换，它不仅保留点之间的直线性和比例关系，还能改变物体的大小、形状和位置。

一、三维仿射变换的基本组成

三维仿射变换通常可以分为以下几类基本变换：

1. 平移（Translation）：改变对象的位置，不影响形状或方向。
2. 旋转（Rotation）：改变对象的方向，但保持形状和大小不变。
3. 缩放（Scaling）：改变对象的大小，可能在不同的方向上进行不同程度的缩放。
4. 剪切（Shearing）：改变对象的形状，不保持角度，但保持直线性。

这些变换可以通过矩阵运算来统一表示。

二、三维仿射变换的数学表示

仿射变换在三维空间中可以通过一个 ( 4 \times 4 ) 的齐次变换矩阵来表示，以便同时包含旋转、平移、缩放和剪切变换。通过使用齐次坐标，我们可以将平移和线性变换（如旋转、缩放、剪切）结合起来表示。

1. 仿射变换的一般形式

三维空间中的仿射变换可以通过如下形式的矩阵乘法来表示：

[
\mathbf{y} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} + \mathbf{b}
]

其中：

• ( \mathbf{y} = $$\left(\begin{array}{c}{y}_x{y}_y{y}_z\end{array}\right)$$ ) 是变换后的向量（输出坐标）。
• ( \mathbf{x} = $$\left(\begin{array}{c}{x}_x{x}_y{x}_z\end{array}\right)$$ ) 是原始向量（输入坐标）。
• ( \mathbf{A} ) 是一个 ( 3 \times 3 ) 的矩阵，表示线性变换部分，包括旋转、缩放和剪切。
• ( \mathbf{b} = $$\left(\begin{array}{c}{t}_x{t}_y{t}_z\end{array}\right)$$ ) 是平移向量。

2. 齐次坐标表示

为了统一表示平移和线性变换（旋转、缩放、剪切等），我们使用齐次坐标（Homogeneous Coordinates）来扩展空间维度，使得变换矩阵是一个 ( 4 \times 4 ) 的矩阵。这种表示方式可以将平移操作嵌入矩阵运算中。

通过齐次坐标，我们可以将三维空间的点 ( (x, y, z) ) 扩展为四维点 ( (x, y, z, 1) )，然后应用一个 ( 4 \times 4 ) 的变换矩阵。

仿射变换的齐次矩阵表示为：

[
$$\left(\begin{array}{c}{y}_x{y}_y{y}_{z}1\end{array}\right)$$ = $$\left(\begin{array}{ccc}R& t0& 1\end{array}\right)$$ $$\left(\begin{array}{c}{x}_x{x}_y{x}_{z}1\end{array}\right)$$
]

其中：

• ( R ) 是一个 ( 3 \times 3 ) 的旋转矩阵（也可以包含缩放和剪切），表示线性变换。
• ( t = $$\left(\begin{array}{c}{t}_x{t}_y{t}_z\end{array}\right)$$ ) 是平移向量，表示物体的位置变化。

三、三维仿射变换的类型

1. 旋转（Rotation）

旋转是将物体围绕某个轴旋转的变换。对于三维空间，旋转矩阵 ( R ) 是一个 ( 3 \times 3 ) 的正交矩阵，具有如下性质：
[
R^T R = I
]
旋转矩阵的元素可以通过旋转角度来确定。对于绕 x、y 或 z 轴的旋转，旋转矩阵如下所示：

• 绕 x 轴旋转（角度 ( \theta )）：
  [
  R_x(\theta) = $$\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 00& \cos \theta & -\sin \theta 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
  ]

• 绕 y 轴旋转（角度 ( \theta )）：
  [
  R_y(\theta) = $$\left(\begin{array}{ccccccc}\cos \theta & 0& \sin \theta 0& 1& 0-\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right)$$
  ]

• 绕 z 轴旋转（角度 ( \theta )）：
  [
  R_z(\theta) = $$\left(\begin{array}{ccccccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\sin \theta & \cos \theta & 00& 0& 1\end{array}\right)$$
  ]

2. 平移（Translation）

平移是将物体在空间中沿某个方向平移。平移矩阵用一个 ( 3 \times 1 ) 的向量来表示：
[
t = $$\left(\begin{array}{c}{t}_x{t}_y{t}_z\end{array}\right)$$
]
平移矩阵在齐次坐标表示中需要嵌入到 ( 4 \times 4 ) 的矩阵中。其形式为：
[
$$\left(\begin{array}{ccccccccccccc}1& 0& 0& t_{x}0& 1& 0& t_{y}0& 0& 1& t_{z}0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
]

3. 缩放（Scaling）

缩放是指按比例扩大或缩小物体的尺寸。缩放矩阵是一个对角矩阵，表示在每个轴方向上的缩放因子：

[
S = $$\left(\begin{array}{ccccccc}{s}_x& 0& 00& s_y& 00& 0& s_z\end{array}\right)$$
]

其中 ( s_x, s_y, s_z ) 是在 x、y、z 轴方向上的缩放因子。

4. 剪切（Shearing）

剪切变换是指将物体的形状改变，但保持直线性，剪切矩阵通常不是对角矩阵。剪切可以在一个或多个轴之间进行。例如，在 ( x )-( y ) 平面中的剪切变换可以表示为：

[
Sh_{xy} = $$\left(\begin{array}{ccccccc}1& k_{xy}& 00& 1& 00& 0& 1\end{array}\right)$$
]

其中，( k_{xy} ) 是剪切因子。

四、组合变换

仿射变换通常是多个基本变换（旋转、平移、缩放、剪切）的组合。可以通过将每个基本变换的矩阵相乘来得到组合变换的矩阵。例如，若我们想同时进行旋转、平移和缩放，组合矩阵为：

[
\mathbf{T} = R \cdot S \cdot P
]

其中，( R ) 是旋转矩阵，( S ) 是缩放矩阵，( P ) 是平移矩阵。通过齐次坐标表示，最终的变换矩阵为：

[
$$\left(\begin{array}{ccc}R& t0& 1\end{array}\right)$$
]

通过矩阵相乘，我们可以得到一个统一的矩阵表示仿射变换。

总结

三维仿射变换是一个非常灵活且强大的工具，广泛应用于计算机图形学、机器人学、物理仿真等领域。它不仅能表示平移、旋转、缩放和剪切等基本变换，还能通过矩阵运算组合成更复杂的变换。使用齐次坐标使得平移操作与线性变换能够统一在同一个框架下表示，简化了变换的计算与应用。