压缩感知简介

　　压缩感知（也称为压缩感知、压缩采样或稀疏采样）是一种信号处理技术，通过寻找欠定线性系统的解决方案来有效地获取和重构信号。这是基于这样的原理，即通过优化，可以利用信号的稀疏性从比Nyquist-Shannon 采样定理所需的样本少得多的样本中恢复它。有两种情况可以恢复。第一个是稀疏的，这要求信号在某些域中是稀疏的。第二个是不相干性，它通过等距属性应用，这对于稀疏信号来说已经足够了。

 

概述

　　信号处理工程领域的一个共同目标是从一系列采样测量中重建信号。一般来说，这项任务是不可能的，因为在未测量信号的时间内无法重建信号。然而，通过对信号的先验知识或假设，可以从一系列测量中完美地重建信号（获取这一系列测量称为采样）。随着时间的推移，工程师们对哪些假设是实用的以及如何推广它们的理解有所提高。 

　　信号处理的早期突破是奈奎斯特-香农采样定理。它指出，如果真实信号的最高频率小于采样率的一半，则可以通过sinc 插值完美地重构信号。主要思想是，利用关于信号频率约束的先验知识，重构信号所需的样本更少。 

大约在 2004 年，Emmanuel Candès、Justin Romberg、Terence Tao和David Donoho证明，在了解信号​​稀疏性的情况下，可以使用比采样定理所需更少的样本来重建信号。这个想法是压缩感知的基础。

 

历史

　　压缩传感依赖于其他几个科学领域在历史上使用过的技术。在统计学中，最小二乘法由L¹-norm，由Laplace引入。随着线性规划和Dantzig单纯形算法的介绍，L1-norm 用于计算统计。在统计理论中，L¹-norm 被George W. Brown和后来的作者用于中值无偏估计量。它被 Peter J. Huber 和其他从事稳健统计工作的人使用。L¹-norm 也用于信号处理，例如，在 1970 年代，地震学家根据似乎不满足Nyquist-Shannon 标准的数据构建了地球内反射层的图像。1993 年 用于匹配追踪， 1996 年Robert Tibshirani的LASSO 估计器和1998 年的基础追踪。有描述这些算法何时恢复稀疏解的理论结果，但所需的类型和数量的测量值是次优的，随后通过压缩传感得到了极大的改善。

　　乍一看，压缩感知似乎违反了采样定理，因为压缩感知取决于相关信号的稀疏性，而不是其最高频率。这是一个误解，因为采样定理保证了在充分而非必要条件下的完美重建。与经典固定速率采样根本不同的采样方法不能“违反”采样定理。与经典的固定速率采样相比，使用压缩感知可以对具有高频分量的稀疏信号进行高度欠采样。

 

应用

　　压缩感知领域与信号处理和计算数学中的几个主题相关，例如欠定线性系统、组测试、重击者、稀疏编码、多路复用、稀疏采样和有限创新率。其广泛的范围和通用性已在信号处理和压缩、逆问题的解决、辐射系统的设计、雷达和穿墙成像以及天线表征方面实现了几种创新的 CS 增强方法。与压缩传感具有很强亲和力的成像技术包括编码孔径和计算摄影。

 　　传统的 CS 重建使用稀疏信号（通常以低于 Nyquist 采样率的速率采样）通过约束进行重建L¹最小化。这种方法的最早应用之一是反射地震学，它使用来自带限数据的稀疏反射信号来跟踪地下层之间的变化。当 LASSO 模型在 1990 年代作为一种选择稀疏模型的统计方法而受到重视时，该方法被进一步用于计算谐波分析，以对来自过完备字典的稀疏信号表示进行计算。其他一些应用包括雷达脉冲的非相干采样。Boyd 等人的工作已将 LASSO 模型（用于选择稀疏模型）应用于模数转换器（当前使用的采样率高于奈奎斯特率以及量化的香农表示）。这将涉及并行架构，其中模拟信号的极性以高速变化，然后在每个时间间隔结束时将积分数字化以获得转换后的数字信号。

　　压缩感知 (CS) 为从压缩测量中恢复稀疏信号提供了一个优雅的框架。例如，CS 可以利用自然图像的结构并仅从少数随机测量中恢复图像。CS 灵活且数据高效，但其应用受到稀疏性强假设和昂贵的重建过程的限制。最近一种将 CS 与神经网络生成器相结合的方法已经消除了稀疏性的限制，但重建仍然很慢。生成对抗网络 (GAN) 可以被视为该模型系列中的一个特例。