题目链接：http://poj.org/problem?id=2478
题目大意：
给你一个数列f(N)，这个数列是由一系列不能约分的分数 a / b (0 < a < b <= n 且 (a,b) = 1)按照递增的顺序排列而成的。输入一个N，求这个数列中元素的个数。
题目思路：
因为题目只需要求出元素的个数，所以，把分母相同的放在一起，然后就发现规律了，其实就是求从2到 n 的欧拉函数的和。范围只有10^6，可以打表预处理。思路很清晰。因为要反复用欧拉函数，所以比较快的方法是用递推的方法求。
1 for (i = 1; i <= maxn; ++i) f[i] = i; 2 for (i = 2; i <= maxn; i+=2) f[i] /= 2; 3 for (i = 3; i <= maxn; i+=2){ 4 if (f[i] == i){ 5 for (j = i; j <= maxn; j+=i){ 6 f[j] = f[j] / i * (i - 1); 7 } 8 } 9 }
这个方法和筛法求素数比较类似，貌似就是那个思想。模拟一下什么就懂了。这里也用到了欧拉函数的性质：φ(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * …… * (1 - 1/pk)。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstdlib> 4 #include <cstring> 5 #include <cctype> 6 #include <stack> 7 #include <queue> 8 #include <map> 9 #include <set> 10 #include <vector> 11 #include <cmath> 12 #include <algorithm> 13 #define lson l, m, rt<<1 14 #define rson m+1, r, rt<<1|1 15 using namespace std; 16 typedef long long int LL; 17 const int MAXN = 0x3f3f3f3f; 18 const int MIN = -0x3f3f3f3f; 19 const double eps = 1e-9; 20 const int dir[8][2] = {{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0},{-1,1}, 21 {1,1},{1,-1},{-1,-1}}; 22 23 const int maxn = 1000000+10; 24 int f[maxn]; 25 int main(void){ 26 #ifndef ONLINE_JUDGE 27 freopen("poj2478.in", "r", stdin); 28 #endif 29 30 LL i, j; 31 for (i = 1; i <= maxn; ++i) f[i] = i; 32 for (i = 2; i <= maxn; i+=2) f[i] /= 2; 33 for (i = 3; i <= maxn; i+=2){ 34 if (f[i] == i){ 35 for (j = i; j <= maxn; j+=i){ 36 f[j] = f[j] / i * (i - 1); 37 } 38 } 39 } 40 //printf("%d\n", f[5]); 41 //for (i = 2; i <= 14; ++i) printf("f[%d] = %d\n", i, f[i]); 42 //for (i = 2; i <= 14; ++i) printf("f[] = %d\n", f[i]); 43 int n; 44 while (~scanf("%d", &n)){ 45 if (!n) break; LL ans = 0; 46 for (i = 2; i <= n; ++i){ 47 ans += f[i]; //printf("f[%d] = %d ", i, f[i]); 48 } 49 printf("%lld\n", ans); 50 } 51 52 return 0; 53 }
写代码的时候还是遇到了一些问题，比如把改写成 j 的地方写成了 i ，还好很快找到了，以后这种错误从一开始就不要犯。
调试的时候发现一个很神奇的现象，不能解释啊。41行的注释，输出来 f[i] 的值都是0！42行的注释输出来就是正常的！好吧，原因到现在我还不知道……貌似是语言的细节？希望神牛路过指点啊~
另外，求的时候，没有必要每次都加一遍，也可以把f[]数组进一步处理，让f[n]保存前n项得欧拉函数的和，这样就可以直接输出f[n]的值了。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstdlib> 4 #include <cstring> 5 #include <cctype> 6 #include <stack> 7 #include <queue> 8 #include <map> 9 #include <set> 10 #include <vector> 11 #include <cmath> 12 #include <algorithm> 13 #define lson l, m, rt<<1 14 #define rson m+1, r, rt<<1|1 15 using namespace std; 16 typedef long long int LL; 17 const int MAXN = 0x3f3f3f3f; 18 const int MIN = -0x3f3f3f3f; 19 const double eps = 1e-9; 20 const int dir[8][2] = {{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0},{-1,1}, 21 {1,1},{1,-1},{-1,-1}}; 22 23 const int maxn = 1000000+10; 24 LL f[maxn]; 25 int main(void){ 26 #ifndef ONLINE_JUDGE 27 freopen("poj2478.in", "r", stdin); 28 #endif 29 30 LL i, j; 31 for (i = 1; i <= maxn; ++i) f[i] = i; 32 for (i = 2; i <= maxn; i+=2) f[i] /= 2; 33 for (i = 3; i <= maxn; i+=2){ 34 if (f[i] == i){ 35 for (j = i; j <= maxn; j+=i){ 36 f[j] = f[j] / i * (i - 1); 37 } 38 } 39 } 40 for (i = 3; i <= maxn; ++i){ 41 f[i] += f[i-1]; 42 } 43 //printf("%d\n", f[5]); 44 //for (i = 2; i <= 14; ++i) printf("f[%d] = %d\n", i, f[i]); 45 //for (i = 2; i <= 14; ++i) printf("f[] = %d\n", f[i]); 46 int n; 47 while (~scanf("%d", &n)){ 48 if (!n) break; LL ans = 0; 49 /* 50 for (i = 2; i <= n; ++i){ 51 ans += f[i]; //printf("f[%d] = %d ", i, f[i]); 52 } 53 */ 54 printf("%lld\n", f[n]); 55 } 56 57 return 0; 58 }
速度快了一点儿~这种预处理的方法学习一下。
