傅里叶变换和小波变换简单总结

傅里叶变换（FT），通过将信号分解成正余弦函数（把三角函数当做函数空间的基），将时域信号转化为频域信号，并提取到空域上不易提取的特征。缺点是只适用于平稳性信号，在频域图上不能获得对应频率的时间信息。一种解决方法是短时傅里叶变换（STFT），设置窗格，认为窗格内的信号是平稳信号，对窗格内的信号分段进行FT分析。这样就可以获取到频率的时域信息，但缺点是窗格大小很难设置大小。

傅里叶变换是通过将原信号与正交的三角函数基在无穷上进行积分，得到的积分值越大说明包含该频率的三角信号越多。小波变换的原理与之类似，只是将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基（小波——Wavelet，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式）。小波变换有两个变量，尺度scale和平移量translation。尺度控制小波函数的伸缩，对应于频率；平移量控制小波函数的平移，对应于时间。这样不仅可以知道频率信息，还可以知道在时域上的具体位置。可以看出，傅里叶变换只能得到一个频谱，而小波变换可以得到一个时频谱。

小波还有一些好处，比如，对于突变信号，傅里叶变换存在吉布斯效应，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号，而衰减的小波就好很多。

 

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818?refer=dong5